在机器学习和数据挖掘中，我们经常需要知道个体间差异的大小，进而评价个体的相似性和类别。最常见的是数据分析中的相关分析，数据挖掘中的分类和聚类算法，如 K 最近邻（KNN）和 K 均值（K-Means）等等。在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(Similarity Measurement)，这时通常采用的方法就是计算样本间的“距离”(Distance)。采用什么样的方法计算距离是很讲究，甚至关系到分类的正确与否。本文的目的就是对常用的相似性度量作一个总结。
根据数据特性的不同，可以采用不同的度量方法。一般而言，定义一个距离函数 d(x,y), 需要满足下面几个准则：
- 1) d(x,x) = 0 // 到自己的距离为0；
- 2) d(x,y) >= 0 // 距离非负；
- 3) d(x,y) = d(y,x) // 对称性: 如果 A 到 B 距离是 a，那么 B 到 A 的距离也应该是 a；
- 4) d(x,k)+ d(k,y) >= d(x,y) // 三角形法则: (两边之和大于第三边)；
满足这4个条件的距离函数很多，一般有几类是比较常见的，通常来自比较直观的形象，如平面的一个两点的直线距离。下面讨论应用比较广泛的几类距离或相似性度量函数。
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1.欧式距离(Euclidean Distance)
欧氏距离是最容易直观理解的距离度量方法，我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。
- 1）二维平面上点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：
- 2）三维空间点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：
- 3）n维空间点a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离（两个n维向量）：
也可以用表示成向量运算的形式：
Matlab计算欧氏距离：
例子：计算向量(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)两两间的欧式距离
X = [1 1;2 2;3 3;4 4];
d = pdist(X,'euclidean')
d =
1.4142 2.8284 4.2426 1.4142 2.8284 1.4142Matlab计算距离使用pdist()函数。若X是一个m×n的矩阵，则pdist(X)将X矩阵每一行作为一个n维行向量，然后计算这m个向量两两间的距离。
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2. 标准化欧氏距离 (Standardized Euclidean Distance)
定义： 标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，X的“标准化变量”表示为：
- 标准化欧氏距离公式：
如果将方差的倒数看成一个权重，也可称之为加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。
Matlab计算标准化欧氏距离（假设两个分量的标准差分别为0.5和1）：
X = [1 1;2 2;3 3;4 4];
d = pdist(X,'seuclidean',[0.5,1])
d =
2.2361 4.4721 6.7082 2.2361 4.4721 2.2361
3. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)
从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源， 曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。
假设在曼哈顿街区乘坐出租车从 P 点到 Q 点，白色表示高楼大厦，灰色表示街道。绿色的斜线表示欧几里得距离，在现实中是不可能的。其他三条折线表示了曼哈顿距离，这三条折线的长度是相等的。
- 二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离：
- n维空间点a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)的曼哈顿距离：
Matlab计算曼哈顿距离：
X = [1 1;2 2;3 3;4 4];
d = pdist(X,'cityblock')
d =
2 4 6 2 4 2
4. 切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)
国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离。
- 二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离：
- n维空间点a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)的切比雪夫距离：
Matlab计算切比雪夫距离：
X = [1 1;2 2;3 3;4 4];
d = pdist(X,'chebychev')
d =
1 2 3 1 2 1======================分割线=====================
5. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)
闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述，是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法。
闵氏距离定义：两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：
其中p是一个变参数：
- 当 p=1 时，就是曼哈顿距离；
- 当 p=2 时，就是欧氏距离；
- 当 p→∞ 时，就是切比雪夫距离；
当 p 趋近于无穷大时，闵可夫斯基距离转化成切比雪夫距离（Chebyshev distance）：
因此，根据变参数的不同，闵氏距离可以表示某一类/种的距离。
- 闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。
- e.g. 二维样本(身高[单位:cm]，体重[单位:kg])，现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。
- (1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了；
- (2)未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的；
我们知道平面上到原点欧几里得距离（p = 2）为 1 的点所组成的形状是一个圆，当 p 取其他数值的时候呢？
注意，当 p < 1 时，闵可夫斯基距离不再符合三角形法则，举个例子：当 p < 1, (0,0) 到 (1,1) 的距离等于 (1+1)^{1/p} > 2, 而 (0,1) 到这两个点的距离都是 1。
闵可夫斯基距离比较直观，但是它与数据的分布无关，具有一定的局限性，如果 x 方向的幅值远远大于 y 方向的值，这个距离公式就会过度放大 x 维度的作用。所以，在计算距离之前，我们可能还需要对数据进行 z-transform 处理，即减去均值，除以标准差：
: 该维度上的均值
: 该维度上的标准差
可以看到，上述处理开始体现数据的统计特性了。这种方法在假设数据各个维度不相关的情况下利用数据分布的特性计算出不同的距离。如果维度相互之间数据相关（例如：身高较高的信息很有可能会带来体重较重的信息，因为两者是有关联的），这时候就要用到马氏距离（Mahalanobis distance）了。
Matlab计算闵氏距离（以p=2的欧氏距离为例）：
X = [1 1;2 2;3 3;4 4];
d = pdist(X,'minkowski',2)
d =
1.4142 2.8284 4.2426 1.4142 2.8284 1.4142
6. 马氏距离(Mahalanobis Distance)
马氏距离的引出：
上图有两个正态分布的总体，它们的均值分别为a和b，但方差不一样，则图中的A点离哪个总体更近？或者说A有更大的概率属于谁？显然，A离左边的更近，A属于左边总体的概率更大，尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。
再或者可以这么理解，考虑下面这张图，椭圆表示等高线，从欧几里得的距离来算，绿黑距离大于红黑距离，但是从马氏距离，结果恰好相反：
定义：有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到μ的马氏距离表示为：
向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：
若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布），则Xi与Xj之间的马氏距离等于他们的欧氏距离：
若协方差矩阵是对角矩阵，则就是标准化欧氏距离。
- 欧式距离&马氏距离：
马氏距离的特点：
- 量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰；
- 马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
- 计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可；
【例】下图蓝色表示原样本点的分布，两颗红星坐标分别是（3, 3），（2, -2）:
由于 x， y 方向的尺度不同，不能单纯用欧几里得的方法测量它们到原点的距离。并且，由于 x 和 y 是相关的（大致可以看出斜向右上），也不能简单地在 x 和 y 方向上分别减去均值，除以标准差。最恰当的方法是对原始数据进行 Cholesky 变换，即求马氏距离（可以看到，右边的红星离原点较近）：
Matlab计算马氏距离：
X = [1 2;1 3;2 2;3 1];
d = pdist(X,'mahal')
d =
2.3452 2.0000 2.3452 1.2247 2.4495 1.22477. 余弦距离(Cosine Distance)
几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异；机器学习中，借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
- 二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：
- 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦为：
即：
夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。向量夹角的余弦就是两个向量的相似度。Cosine similarity 说，如果两个向量的夹角定了，那么无论一个向量伸长多少倍，他们的相似性都是不变的。所以，应用cosine 相似性之前，要把对象的每一个维度归一化。
- Cosine similarity的一个扩展是，Tonimoto系数：
其实也没什么大不了。T（A,B）的分母是大于等于 cos similarity的分母，但且仅仅但 A,B长度一样是才相等。这就意味着，Tonimoto系数考虑了两个向量的长度差异，长度差异越大相似性约小。
Matlab计算夹角余弦（Matlab中的pdist(X, ‘cosine’)得到的是1减夹角余弦的值）：
X = [1 1;1 2;2 5;1 -4];
d = 1-pdist(X,'cosine')
d =
0.9487 0.9191 -0.5145 0.9965 -0.7593 -0.8107===================分割线======================
8. 向量内积
向量内积是线性代数里最为常见的计算，实际上它还是一种有效并且直观的相似性测量手段。向量内积的定义如下：
直观的解释是：如果 x 高的地方 y 也比较高， x 低的地方 y 也比较低，那么整体的内积是偏大的，也就是说 x 和 y 是相似的。举个例子，在一段长的序列信号 A 中寻找哪一段与短序列信号 a 最匹配，只需要将 a 从 A 信号开头逐个向后平移，每次平移做一次内积，内积最大的相似度最大。信号处理中 DFT 和 DCT 也是基于这种内积运算计算出不同频域内的信号组分（DFT 和 DCT 是正交标准基，也可以看做投影）。向量和信号都是离散值，如果是连续的函数值，比如求区间[-1, 1] 两个函数之间的相似度，同样也可以得到（系数）组分，这种方法可以应用于多项式逼近连续函数，也可以用到连续函数逼近离散样本点（最小二乘问题，OLS coefficients）中，扯得有点远了- -!。
向量内积的结果是没有界限的，一种解决办法是除以长度之后再求内积，这就是应用十分广泛的余弦相似度（Cosine similarity）：
余弦相似度与向量的幅值无关，只与向量的方向相关，在文档相似度（TF-IDF）和图片相似性（histogram）计算上都有它的身影。需要注意一点的是，余弦相似度受到向量的平移影响，上式如果将 x 平移到 x+1, 余弦值就会改变。怎样才能实现平移不变性？这就是下面要说的皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）。
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9.皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)
皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），有时候也直接叫相关系数。学过概率论的人都知道，有均值，反差，还有相关系数，相关系数就是就是描述两组变量是否线性相关的那个东西。相关系数的优点是，它跟变量的长度无关，这个都点像cosine相似性。有一个应用是，比如一个商品推荐系统，要给用户A推荐相应的产品，首先要通过对商品的打分，找到与A相似k个用户。但是有些人，可能天生喜欢打高分，有些人偏向于打低分，为了消除这个问题 相关系数是一个很好的度量方法。
- 相关系数：是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法，相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大，则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时，相关系数取值为1（正线性相关）或-1（负线性相关）：
- 相关距离(Correlation distance)
皮尔逊相关系数具有平移不变性和尺度不变性，计算出了两个向量（维度）的相关性。不过，一般我们在谈论相关系数的时候，将 x 与 y 对应位置的两个数值看作一个样本点，皮尔逊系数用来表示这些样本点分布的相关性。
由于皮尔逊系数具有的良好性质，在各个领域都应用广泛，例如，在推荐系统根据为某一用户查找喜好相似的用户,进而提供推荐，优点是可以不受每个用户评分标准不同和观看影片数量不一样的影响。
Matlab计算相关系数与相关距离：
X = [1 2 3 4;3 8 7 6];
c = corrcoef(X') %返回相关系数矩阵
d = pdist(X,'correlation') %返回相关距离
c =
1.0000 0.4781
0.4781 1.0000
d =
0.5219===================分割线======================
10. 汉明距离(Hamming Distance)
定义：汉明距离（Hamming distance）是指，两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为：将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。举个维基百科上的例子：
The Hamming distance between "1011101" and "1001001" is 2.
The Hamming distance between "2143896" and "2233796" is 3.
The Hamming distance between "toned" and "roses" is 3.- 汉明距离：是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离，也就是说，它是字符串中非零的元素个数：对于二进制字符串来说，就是 1 的个数，所以 11101 的汉明距离是 4。因此，如果向量空间中的元素a和b之间的汉明距离等于它们汉明距离的差a-b。
- 应用：汉明距离分析在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。比如在信息编码过程中，为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大。但是，如果要比较两个不同长度的字符串，不仅要进行替换，而且要进行插入与删除的运算，在这种场合下，通常使用更加复杂的编辑距离等算法。
X = [0 1 1;1 1 2;1 5 2];
d = pdist(X,'hamming')
d =
0.6667 1.0000 0.333311. 杰卡德距离(Jaccard Distance)
在一些情况下，某些特定的值相等并不能代表什么。举个例子，用 1 表示用户看过该电影，用 0 表示用户没有看过，那么用户看电影的的信息就可用 0,1 表示成一个序列。考虑到电影基数非常庞大，用户看过的电影只占其中非常小的一部分，如果两个用户都没有看过某一部电影（两个都是 0），并不能说明两者相似。反而言之，如果两个用户都看过某一部电影（序列中都是 1），则说明用户有很大的相似度。在这个例子中，序列中等于 1 所占的权重应该远远大于 0 的权重，这就引出下面要说的杰卡德相似系数（Jaccard similarity）。
在上面的例子中，用 M11 表示两个用户都看过的电影数目，M10 表示用户 A 看过，用户 B 没看过的电影数目，M01 表示用户 A 没看过，用户 B 看过的电影数目，M00 表示两个用户都没有看过的电影数目。Jaccard 相似性系数可以表示为：
- 杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)还可以用集合的公式来表达：两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示：
Jacard 相似性直观的概念来自两个集合有多相似，显然，Jacard最好是应用在离散的变量几何上。分子是集合交集，分母是集合并集，画个图，马上就明白咋回事了。
- 杰卡德距离(Jaccard Distance)：与杰卡德相似系数相反，用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度：
Matlab计算杰卡德距离（Matlab中将杰卡德距离定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例）：
X = [1 1 0;1 -1 0;-1 1 0];
d = pdist(X,'jaccard')
d =
0.5000 0.5000 1.0000
12. 信息熵(Information Entropy)
以上的距离度量方法度量的皆为两个样本（向量）之间的距离，而信息熵描述的是整个系统内部样本之间的一个距离，或者称之为系统内样本分布的集中程度（一致程度）、分散程度、混乱程度（不一致程度）。系统内样本分布越分散(或者说分布越平均)，信息熵就越大。分布越有序（或者说分布越集中），信息熵就越小。
计算给定的样本集X的信息熵的公式：
参数的含义：
- n：样本集X的分类数
- pi：X中第 i 类元素出现的概率
信息熵越大表明样本集S的分布越分散（分布均衡），信息熵越小则表明样本集X的分布越集中（分布不均衡）。当S中n个分类出现的概率一样大时（都是1/n），信息熵取最大值log2(n)。当X只有一个分类时，信息熵取最小值0。
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参考文献：
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