上下界网络流建模方法 无源无汇可行流 最大/最小流

学习了$several$天。实义数量必须markdown

上下界无源无汇可行流（循环流）

因为有下界，考虑不要下界。每个弧的“可调控范围”的大小是$up_i-down_i$，那么在我们的实际的图中，所有弧的下界都是$0$，每条原图对应的弧的上界是$up_i-down_i$。但我们要满足流量平衡，于是建立附加源SS和附加汇TT，对于每个节点，SS向它连一条容量为$\sum down_{x->i}$的弧（x是所有连入i的点），它向TT连一条容量为$\sum down_{i->y}$的弧（y是i所有联出的点），然后对SS->TT跑最大流。
当答案等于所有附加的弧（与SS、TT相连的弧）的容量之和时，存在可行流。

上下界最大流

首先，标准图转无源无汇图。链接T->S容量$\inf$。
然后跑上下界无源无汇可行流（可见我另一篇博文上下界网络流建模方法 无源无汇可行流 最大/最小流）。不可行就无解。
把残量留着！
然后，把T->S边拆了，接着跑S->T最大流。附加的弧已经被自动忽略了。
得到答案。
可以理解为，先跑了可行流（但是为了可行，没有流最大），再跑最大流（在可行的基础上）。

上下界最小流

先做一个简化版：没有上下界最小流？
……
首先，强行把S和T当做平凡的点，跑上下界无源无汇可行流。注意，因为某某，SS、TT与S、T没有连边。
把残量留着！
然后，链接T->S容量为$\inf$。
再，跑上下界无源无汇可行流。
答案等于T->S此时此刻的残量。
证明见各大博客。