【阅读笔记】0x01 位运算

1.补码表示： ~x=-1-x

2.自然溢出：unsigned long long 自动对2^32取模，可以用来hash。

3.基本位运算操作：

左移：1<<n=2^n

n<<1=2n，n<<2=4n，n<<3=8n。。。

算术右移：n>>1=n/2 ，n>>4=n/16。。。算术右移=除以2向下取整 e.g. (-3) >> 1 = -2，3>>1=1

P.S. 整数/2 = 除以2向0取整 e.g.　(-3)/2=-1 ， 3/2=1

tips：以下二进制以0为最低位，即k从0开始。

取出整数n在二进制下的第k位：(n>>k)&1

取出整数n在二进制下的第0~k-1位（后k位）：n&((1<<k)-1)

把整数n在二进制表示下的第k位取反：n^(1<<k)

把整数n在二进制表示下的第k位赋值为1：n|(1<<k)

把整数n在二进制表示下的第k位赋值为0：n&(~(1<<k))

以上常用于把一个n维bool数组压缩成一个n维二进制整数，即状态压缩，常用于状压DP。

注意符号的运算优先级：加减（+ -）>移位（>> <<）>比较大小(> < == !=)>位与(&)>异或(^)>位或(|)

可以直接每个运算符都加一个括号来提高正确性。

成对变换：n为偶数 n^1=n+1 ; n为奇数 n^1=n-1 so“0 1”，“2 3”构成成对变换，常用于存图中的边与其反向边。

lowbit: lowbit(x)=x&-x 返回x在二进制表示下的最低位的1及其后面的0构成的数值。是树状数组的核心。

4.快速幂 O(logn)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
    ll a,b,p;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
    ll mul=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) mul=(mul*a)%p;
        a=(a*a)%p;
    }
    printf("%lld",mul%p);
    return 0;
}

5.64位整数乘法 O(logn)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
    ll a,b,p;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
    ll mul=0;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) mul=(mul+a)%p;
        a=(a*2)%p;
    }
    printf("%lld",mul%p);
    return 0;
}