7.19
1.最大公约数
A(51NOD 1011)
输入2个正整数A，B，求A与B的最大公约数。
Ac code:
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)//最大公约数
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a,b)<<endl;
return 0;
}求法推演
首先考虑一下：
对于任意两个正整数 a,ba,b ，都有：
a=kb+ra=kb+r
(k,r∈N)(k,r∈N)
所以有：
r=a%b
（在这里，%指的是取余运算）
然后我们假设 cc 是 aa 和 bb 的最大公约数，即
c=gcd(a,b)
然后，我们就能得到：
c|a
c|b
（在这里当然包括除了在这里的任何地方，a|b 表示 bb 能够整除 aa）
然后又因为上面那个式子，有：
r=a−kb
所以有：
c|r
整合一下上面的式子，我们可以得到：
c=gcd(b,r)
即
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
代码（递归）
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}这种写法就是辗转相除法。
当然为了防止某些情况爆栈（比如说高精度运算什么的），还可以不用递归来写。。。
int gcd(int a,int b)
{
while(b)
{
a=a%b;
swap(a,b);
}
return a;
}当然本质上这两种计算方式是一样的
2.最小公倍数
B(51NOD1012)
输入2个正整数A，B，求A与B的最小公倍数。
*int会wa
AC code:
#include<iostream>
using namespace std;
long long gcd(long long a,long long b)//最大公约数
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
long long a,b;
cin>>a>>b;
cout<<a*b/gcd(a,b)<<endl;
return 0;
}4.快速幂(不取模)
定义：
快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
快幂算法1
这里我们需要两个公式：
这两个公式都不难理解，自己可以验证一下，3^4 = 9^2。
有了这两个公式之后我们就可以考虑思路了。
我们就以b为偶数来举例。
a^b%c = ((a^2)^b/2)%c;
在这里我们假设b/2还是偶数，那么
((a^2)^b/2)%c = (((a^2)^2)^(b/2)/2)%c;到这里就可以了.
快速幂算法2
它的原理如下：
假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时
11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a2^0*a2^1*a2^3
，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次。
由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>>
&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。
>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位
ll bin_pow(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while (b > 0)
{
if (b&1) //奇数
{
s = s * a;
}
a = a * a;
b = b >> 1;
}
return ans;
}
常规求幂
int pow1(int a,int b){
int r=1;
while(b--) r*=a;
return r;
}
快速求幂（一般）
int pow2(int a,int b){
int r=1,base=a;
while(b!=0){
if(b%2) r*=base;
base*=base;
b/=2;
}
return r;
}
快速求幂 （递归）
int f(int m,int n){ //m^n
if(n==1) return m;
int temp=f(m,n/2);
return (n%2==0 ? 1 : m)*temp*temp;
}
快速求幂（位运算）
int pow3(int x,int n){
if(n==0) return 1;
else {
while((n&1)==0){
n>>=1;
x*=x;
}
}
int result=x;
n>>=1;
while(n!=0){
x*=x;
if(n&1) result*=x;
n>>=1;
}
return result;
}
快速求幂（位运算，更简洁）
int pow4(int a,int b){
int r=1,base=a;
while(b){
if(b&1) r*=base;
base*=base;
b>>=1;
}
return r;
}
补充：C语言中移位运算符
位移位运算符是将数据看成二进制数，对其进行向左或向右移动若干位的运算。位移位运算符分为左移（<<）和右移(>>)两种，均为双目运算符。第一运算对象是移位对象，第二个运算对象是所移的二进制位数。
左移运算是将一个二进制位的操作数按指定移动的位数向左移位，移出位被丢弃，右边的空位一律补0。右移运算是将一个二进制位的操作数按指定移动的位数向右移动，移出位被丢弃，左边移出的空位或者一律补0，或者补符号位，这由不同的机器而定。在使用补码作为机器数的机器中，正数的符号位为0，负数的符号位为1。