第六章——1

结点：结点不仅包含数据元素，而且包含指向子树的分支

非终端结点：又叫分支结点，指度不为0的结点。除了根结点之外的非终端结点，也叫作内部结点。

兄弟：同一双亲的孩子之间互为兄弟

堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟

树的高度（或者深度）：树中结点的最大层数

结点的深度和高度：

1.结点的深度是从根结点到该结点路径上的结点个数

2.从某结点往下走可能到达多个叶子结点，其中最长的那条路径的长度即为该结点在树中的高度

3.根结点的高度为树的高度

森林：若干棵互不相交的树的集合。

树的顺序存储结构：双亲存储结构（用一维数组即可实现）

用数组下标表示树中的结点，数组元素的内容表示该结点的双亲结点。

树的链式存储结构

1.孩子存储结构

2.孩子兄弟存储结构

满二叉树：所有的分支结点都有左孩子和右孩子结点，并且叶子结点都集中在二叉树的最下一层

完全二叉树：对一棵深度为k、有n个结点的二叉树进行编号后，各结点的编号与深度为k的满二叉树中相同位置航啊的结点的编号均相同。

通俗讲就是一棵完全二叉树一定是有一棵满二叉树从右至左从上至下，依次删除结点所得到的。

二叉树的主要性质：

性质1 非空二叉树上叶子结点数等于双分支结点数加 1

总结点数= $n_{0}+n_{1}+n_{2}$

总分支数= $n_{1}+2n_{2}$

总分支数=总结点数-1 （这一条结论对于任何树都适用，不仅仅针对二叉树）

由此可得： $n_{0}+n_{1}+n_{2}-1=n_{1}+2n_{2}$ 化简得： ${\color{Red} n_{0}=n_{2}+1}$

性质2 二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ （i≥1）个结点。

结点最多的情况即为满二叉树的情况，此时二叉树每层上的结点数构成了一个首项为1、公比为2的等比数列。通项为 $2^{i-1}$ ，i为层数。

性质3 高度（或深度）为k的二叉树最多有 $2^{k}-1$ （k≥1）个结点（其实质为等比数列前k项和的问题）

性质4 有n个结点的完全二叉树，对各结点从上到下、从左至右依次编号（编号范围为1~n），则结点之间有一下关系：

（若i为某结点a的编号）则：

如果i≠1，则a双亲结点的编号为 $\left \lfloor i/2 \right \rfloor$

如果2i≤n，则a左孩子的编号为2i；如果2i>n，则a无左孩子。

如果2i+1≤n，则a的右孩子的编号为2i+1；如果2i+1>n，则a无右孩子。

性质5 函数Catalan()：给定n个结点，能构成h(n)种不同的二叉树， ${\color{Red} h(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}{\color{Red} }}$

性质6 具有n（n≥1）个结点的完全二叉树的高度（或深度）

由性质3， $2^{h-1}-1$ ＜n≤ $2^{k}-1$

又可写为 $2^{h-1}$ ≤n＜ $2^{k}$

对其取对数得： $h-1\leqslant \log_{2}n< h$

由于h为整数，因此对 $\log_{2}n$ 向下取整即得到一个等式： $h=\left \lfloor \log_{2}n \right \rfloor+1$

二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

即用一个数组来存储一棵二叉树（最适合于完全二叉树，用于存储一般二叉树会浪费大量的存储空间）

2.链式存储结构

结点类型定义如下：

typedef struct BTNode
{
    char data;
    struct BTNode *lchild;
    struct BTNode *rchild;
}BTNode;

二叉树的遍历算法

1.先序遍历

如果二叉树为空树，则什么都不做；否则：

1）访问根结点；2）先序遍历左子树；3）先序遍历右子树

void preorder(BTNode *p)
{
    if(p!=NULL)
    {
        Visit(p);
        preorder(p->lchild);
        preorder(p->rchild);
    }
}

2.中序遍历

如果二叉树为空树，则什么都不做；否则：

1）中序遍历左子树；2）访问根结点；3）中序遍历右子树

void inorder(BTNode *p)
{
    if(p!=NULL)
    {
        inorder(p->lchild);
        Visit(p);
        inorder(p->rchild);
    }
}

3.后序遍历

如果二叉树为空树，则什么都不做；否则：

1）后序遍历左子树；2）后序遍历右子树；3）访问根结点

void postorder(BTNode *p)
{
    if(p!=NULL)
    {
        postorder(p->lchild);
        postorder(p->rchild);
        Visit(p);
    }
}

二叉树的主要性质：

猜你喜欢