STL笔记之树

树由节点（nodes）和边（edges）构成。整棵树有一个最上端节点，称为根节点（root）。每个节点可以有具方向性的边（directed edges），用来和其它节点相连。相连节点中，在上者为父节点（parent），在下者为子节点（child），无子节点者为叶节点（leaf）。子节点可以存在多个，如果最多只允许两个子节点，即所谓二叉树（binary tree）。不同结点如果拥有相同的父节点，则彼此互为兄弟节点（siblings）。根节点至任何节点之间有唯一途径（path），路径所经过的边数，称为路径长度（length）。根节点至任何一个节点的路径长度，即所谓该节点的深度（depth）。根节点的深度永远为0.某节点至最深子节点（叶节点）的路径长度，称为该节点的高度（height）。整棵树的高度，便以根节点的高度来表示。节点A->B之间如果存在（唯一）一条路径，那么A称为B的祖代（ancestor），B称为A的子代（descent）。任何节点的大小（size）是指其所有子代（包括自己）的节点总数。

二叉树搜索树（binary search tree）

二叉树，意义是任何节点最多只允许两个子节点，这两个子节点称为左子节点和右子节点。编译表达树（expression tree）和哈夫曼编码树（Huffman coding tree）都是二叉树。

二叉搜索树可提供对数时间的元素插入和访问。节点放置规则是：任何节点的键值一定大于其左子树中的每一个节点的键值，并小于右子树中每一个节点的键值。因此，从根节点一直往左走，直至无左路可走，即得最小元素，从根节点一直往右走，直至无右路可走，即得最大元素。

节点插入：从根结点开始，遇到键值较大则向左，遇到键值较小则向右，直到尾端，即插入点

节点删除：

1. 无子节点，直接删除；
2. 只有一个子节点，删除旧值，直接将其子节点连至其父节点；
3. 有两个子节点，以右子树中的最小值取而代之（最小值可通过一直向左走到底获得）。

平衡二叉树（balanced binary search tree）

平衡的大致意义是：没有任何一个节点过深（深度过大）。

AVL树（Adelson-Velskii-Landis tree)

平衡因子：节点的左子树深度减去右子树深度。

要求：任何节点的左右子树高度相差最多为1。

平衡被破坏情况：设最深节点为X，X的左右两棵子树的高度相差2，即平衡因子绝对值大于1，分四种情况

1. 插入点位于X的左子节点的左子树-左左；
2. 插入点位于X的左子节点的右子树-左右；
3. 插入点位于X的右子节点的左子树-右左；
4. 插入点位于X的右子节点的右子树-右右。

1，4情况彼此对称，称为外侧插入，可采用单旋转操作调整解决；2，3情况彼此对称，称为内侧插入，可采用双旋转操作调整解决。

单旋转

情况1：以X为支点右旋

//             a                         b
//            / \                       / \
//           b   ar                   bl   a
//          / \          --->         /   / \
//        bl   br                    c   br  ar
//        /
//       c
//待插入节点为c，为情况1，需要进行右旋操作
void RRotate(BiTree& a)
{
	b = a->left;
	a->left = b->right;
	b->right = a;
	a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
	b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
	return b;
}

情况4：以X为支点左旋

//         a                         b
//        / \                       / \
//      al   b                     a   br
//          / \          --->     / \    \
//        bl   br                al  bl   c
//              \
//               c
//待插入节点为c，为情况4，需要进行左旋旋操作
void LRotate(BiTree& a)
{
	b = a->right;
	a->right = b->left;
	b->left = a;
	a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
	b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
	return b;
}

情况2，情况3：

//             a                      a                      c
//            / \                    / \                    / \
//           b   ar                 c   ar                 b   a
//          / \                    / \                    /\   /\
//         bl  c        ---->     b   cr      ---->      bl d cr ar
//            / \                / \
//           d   cr             bl  d
//待插入节点为d，为情况2，需要进行双旋转操作,先对a.left进行左旋，再对a进行右旋
void LRRotate(BiTree& a)
{
	a->left = LRotate(a->left);
	return RRotate(a);
}

//             a                       a                           c
//            / \                     / \                         /  \
//           al  b                  al   c                       a    b
//              / \                     / \                     / \  /  \
//             c   br   ---->          d   b     ---->         al d cr   br
//            / \                         / \
//           d   cr                      cr  br
//待插入节点为d，为情况3，需要进行双旋转操作，先对a.right右旋，再对a左旋
void RRRotate(BiTree& a)
{
	a->right = RRotate(a->right);
	return LRotate(a);
}