汉诺塔问题
假定A、B、C三根柱子。现将A柱上n个圆盘移动到C柱上,一次移动一个盘子,且每个盘子上必不能放比它大的盘子。因可以借助中间柱完成移动,目标柱仅为C柱,因此在本题中A柱与B柱本质上是等价的,它们可以互相作为对方的中间柱。据此可以运用问题降阶的思想。已知仅有1个盘子时,就只需将其从A柱直接移动到C柱,那么假定起始为4个盘子的情况下,可以利用中间柱将最大的盘子移到目标柱后,降为3阶问题,再以此类推,最后化为1个盘子的状态。因此运用递归写法。C++代码如下:
#include <iostream>
using namespace std;
int t=0;
void Hanoi(int x,char a,char b,char c){ //将x个盘子从a柱开始,以b为中间柱,移动到c柱
if(x==0) return;
Hanoi(x-1,a,c,b);
cout<<"Step "<<t<<": "<<a<<" -> "<<c<<endl;
t++;
Hanoi(x-1,b,a,c);
}
int main(){
int n;
cout<<"Input the number of disk(s):";
cin>>n;
Hanoi(n,'A','B','C');
return 0;
}
通过函数内前三行代码:
if(x==0) return; (1)
Hanoi(x-1,a,c,b); (2)
cout<<"Step "<<t<<": "<<a<<" -> "<<c<<endl; (3)
将除了最大盘子外所有盘子移动到中间柱(此后A、B互为中间柱),并将最大盘子移动到C,完成问题降阶,并打印移动步骤,例如,3阶汉诺塔情况下,将最大盘子移动到C柱后,剩余两个盘子在B柱,相当于以B柱为起始,A为中间柱,将两个盘子移动到C柱,以此类推进行降阶。到达最低阶时(x-1==0),函数返回,停止降阶。
随后通过代码:
Hanoi(x-1,b,a,c); (4)
将剩余盘子全部移动到C柱上。因为在代码(2)和(3)中,已经通过递归将问题降阶到1阶,代码(4)完成了降阶后剩余移动步骤的打印。
三阶、四阶、五阶汉诺塔问题代码运行结果如下:
根据问题可以得到,假定输入为n,设移动步骤为F(n)。将除最大盘之外所有盘移动到中间柱的步骤需要F(n-1)步,随后移动最大盘完成问题降阶需要1步,再将剩余盘移动到目标柱需要F(n-1)步。且n为1时,有F(1)=1,由此可得递推式:
F(n)=2*F(n-1)+1
F(1)=1
利用待定系数法,设F(n)+1=2*(F(n-1)+1),解得通项公式F(n)=2^n-1,可知该递归算法时间复杂度为O(2^n)