①01背包：
有n个有容量和价值的物品，放入容量为m的背包里面，求最大的价值和。
这道题目可以用二维也可以用一维。F i,j表示第i个物品j容量的最大价值，方程显然就是Fi,j=max(Fi-1,j，F[i-1][j-rl[i]]+jz[i]);
一维做法：设f[i]为当物品总容量为i是的价值和，然后倒着枚举容量i，f[i]=max(f[i-w[j]]+c[j],f[i])，时间复杂度为O(nm)。
question：
1，为什么从二维降到一维的时候，空间降到了线性，这里使用的是方程中的什么性质呢？
·因为我们在做二维的时候可以发现对于当前一个状态i，它只用可能从i-1的状态转移过来，于是我们可以想到用滚动数组，同时我们发现j的值也是与后面无关的，所以我们就可以去掉一维。
2，为什么要倒着枚举呢？
·我们可以想一想，如果我们改成了顺序的话，在二维里面就成了f[i][j]由f[i][j-v[i]]推过来，显然就会与题意不符合。
②完全背包：
n个有容量和价值的物品，每物品无限个，容量为m的背包，求容量符合要求的最大价值和。
显然这道题是01背包的升级版，也十分简单，只需要枚举一下每个物品取的个数就好了，但是这样做显然时间复杂度是十分高的。
因为可以无限选，所以把01背包的容量枚举正着枚举就好了，这样就能实现叠加，时间复杂度是O(nm)。
③多重背包：
n个有容量和价值的物品，每物品a[i]个，容量为m的背包，求容量符合要求的最大价值和。
显然这道题也是十分简单的，我的方法实在是很水，设Fi,j表示前i个物品j容量的最大价值和，显然就是枚举一下每个物品的容量，搞一下就好了。（讲专题的时候讲了三种方法，也说一下）
方法二：我们知道任何一个数都可以用2的次幂的和们表示出来，那么我们可以把a[i]拆成2的次幂的和，比如20可以表示为1+2+4+8+5，然后用01背包的方法，O(mΣloga[i])
如果不懂的话我们不妨举一个例子吧，假设某一个物品有10个，价值是2，那我们就可以分一下，10-1=9,9-2=7,7-4=3，这样我们就可以分成1,2,3,4个了，对应的价值就是2,,4,6,8，那么每个物品就只有一个了，这样子就可以变成01背包来做了。
方法三：用单调队列优化。
方法如下。很显然我们知道如果不进行优化的话是这个样子的：F[i][j] =max { F[i - 1] [j– k * v[i] ] + k *w[i] }，①
如果想要造成O(nm)的时间复杂度的话，就要在O(1)的情况下求出Fi,j。怎么做呢，我们不妨假设一下：
m[i]=2(每件物品的数量);v[i]=v（该物品的容量）;w[i]=w（该物品的价值）;V（总容量）>9*v;（一个前提）。
当j=6*v时，f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w这三个的最大值；
当j=5*v时，f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w这三个的最大值；
当j=4*v时，f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w这三个的最大值；
显然的是，等式的右边求最大值的几项随着j的改变而改变，但如果j=6*v时，每项减去了6*w，j=5*v时，每项减去了5*w，当j=4*v的时候，每项减去了4*w，就可以得到:
j=6*v:f[i-1][j]-6*w、f[i-1][j-v]-5*w、f[i-1][j-2v]-4*w 这三个中的最大值
j = 5*v: f[i-1][j]-5*w、f[i-1][j-v]-4*w、f[i-1][j-2v]-3*w这三个中的最大值
j = 4*v: f[i-1][j]-4*w、f[i-1][j-v]-3*w、f[i-1][j-2v]-2*w这三个中的最大值
很明显可以发现这里有许多重复的。于是我们可以根据原来的公式进行调整。
假设d = v[i]，a = j / d，b = j%d，即 j=a * d + b，代入公式①，并用k替换a-k得：
F[i][j] = max { F[i - 1] [b + k *d] - k * w[i] } + a * w[i] (a – m[i] <= k <= a) ②
对F[i - 1][y] （y=b b+d b+2d b+3d b+4d b+5d b+6d … j）
F[i][j]就是求j的前面m[i] + 1个数对应的F[i- 1] [b + k * d] - k * w[i]的最大值，加上a * w[i]，如果将F[i][j]前面所有的F[i - 1][b + k * d] – k * w放入到一个队列，那么，F[i][j]就是求这个队列最大长度为m[i] + 1时，队列中元素的最大值，加上a * w[i]。因而原问题可以转化为：O(1)时间内求一个队列的最大值。
方法四：这道题还可以用优先队列去优化，但是我太水，还没有学会！！！！！
④二维费用背包：
和01背包一样，不过容量有w1,w2，最后容量和分别不超过m1,m2的最大价值和。
我的方法设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为c[i]。因为费用 加了一维，所以也只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+c[i]}。如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环。
当物品有如多重背包问题时拆分物品总个数的限制。有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。
这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。
换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。
另外，如果要求“恰取M件物品”，则在f[0..V][M]范围内寻找答案。
本文部分内容选自：
《背包九讲》
http://www.cnblogs.com/z360/p/6365994.html
《DP&贪心》专题
各种书的资料
说明：以上都是简单的背包问题，此外还有分组背包，有依赖性背包等等各种奇奇怪怪的东西，所以在蒟蒻的作者学习的过程中，也会不断更新这些猥猥琐琐的东西。还有一点是，最近发现在某些博客上有自己的文章存在，请各位dalao在转载的过程中，问一问我，毕竟这是蒟蒻整理了很久，学习了很久的结果。同时这里的内容也不是完全齐全的，也欢迎神犇指出文章的问题（问题还是很多的，毕竟是蒟蒻
本文黑色字体为专题内容的原文以及部分更改，蓝色字体是作者自己的理解和在各个地方找来的资料的部分内容。红色字体是作者自己提出的问题，并找了各种同学以及自己理解所获得的答案。
在这里感谢phx神犇对作者提出的问题进行了详细的解答！
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