凸包学习记录

学习记录

兴起捡起很久以前就研究过的凸包。
还是没有在学校共享里找到资料……

没有办法，只能又推荐dalao的博客了……
配合板题食用更佳！
P2742 【模板】二维凸包 / [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows

进入正题

凸包可广泛运用于各种求最小点覆盖问题，方法千奇百怪，这里只列举三种。
涉及到向量的应用。

给出$n$个点的坐标，求最短的能够围住这些点的多边形的周长。
引用一张经典的图：

法一：暴力枚举法

暴力出奇迹，水法真神奇

基本思想

枚举两点，判断其余点是否在这两点所在直线的一侧：
若是，则这两点为凸包上的点；
若不是，则继续枚举。

法二：Graham扫描法

基本思想

1. 以$y$坐标最小的点为原点，建系
2. 将点按照极角大小排序
3. 将当前点与栈顶边比较：若当前点在栈顶边的右侧，弹出栈顶点，重复当前步骤，否则进行下一步
4. 若当前点在栈顶边的左侧，将当前点加入栈，更换当前点

时间复杂度：$O\left(n\log n\right)$

法三：Melkman算法

Melkman算法是当前世界上公认的最优秀求凸包算法。
已知上述两种算法都是离线算法，而Melkman算法是在线算法。
时间复杂度：$O\left(n\right)$（显然优于目前其他任何算法）
经过反复斟酌，这位dalao的博客是比较详细且优秀的，这里不再赘述。
（你就是想掩饰你不会）

具体用途与实现

P2742 【模板】二维凸包 / [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows

Code

//不知道CSDN的Markdown是不是萎了，颜色渲染有点问题，凑合着看吧，也不知道什么时候修。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Dot
{
    double x, y;
    int pos;
    Dot(double _x = 0, double _y = 0)
    {
        x = _x, y = _y;
    }
};

struct Line
{
    Dot p, v;
    Line() {}
    Line(Dot _p, Dot _v)
    {
        p = _p, v = _v;
    }
};

Dot operator+(Dot a, Dot b) {return Dot(a.x + b.x, a.y + b.y);}
Dot operator-(Dot a, Dot b) {return Dot(a.x - b.x, a.y - b.y);}
Dot operator*(Dot a, double b) {return Dot(a.x * b, a.y * b);}
double DotTimes(Dot a, Dot b) {return a.x * b.x + a.y * b.y;}
double CrossTimes(Dot a, Dot b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;}
double Len(Dot a) {return sqrt(DotTimes(a, a));}
double Dist(Dot a, Dot b) {return Len(a - b);}
bool Direct(Dot a, Dot b) {return CrossTimes(a, b) < 0;}

const int MAXN = 10000;
const int Maxint = 2147483647;

int n;
Dot src = Dot(0, Maxint);
Dot d[MAXN + 1];
int q[MAXN + 1];
double ans;

bool cmp(Dot a, Dot b)
{
    double tmp = CrossTimes(a, b);

    if (tmp == 0)
        return Len(a) < Len(b);
    else
        return tmp > 0;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    //freopen("init.in", "r", stdin);
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lf%lf", &d[i].x, &d[i].y);
        d[i].pos = i;

        if (d[i].y < src.y)
            src = d[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int tmp = d[i].pos;
        d[i] = d[i] - src;
        d[i].pos = tmp;
    }

    sort(d + 1, d + n + 1, cmp);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while ((Direct(d[q[q[0]]] - d[q[q[0] - 1]], d[i] - d[q[q[0]]])) && (q[0] > 2))
            q[0]--;

        q[++q[0]] = i;
    }

    q[q[0] + 1] = q[1];

    for (int i = 1; i <= q[0]; i++)
        ans += Len(d[q[i + 1]] - d[q[i]]);

    printf("%.2lf\n", ans);
    return 0;
}