【模板·I】LCA(倍增版)

既然是一篇重点在于介绍、分析一个模板的Blog，作者将主要分析其原理，可能会比较无趣……（提供C++模板）

另外，给reader们介绍另外一篇非常不错的Blog(我就是从那篇博客开始自学LCA的)：+LCA-by 殇雪+

一、原理

LCA即最近公共祖先，一般用LCA(u,v)表示u、v的最近公共祖先。举个例子：

LCA举例

（Tab：以下“树”均指有根树）由于在树中，除根节点的每个节点都有且仅有一个父节点，我们很容易得到一个结论——u,v的最近公共祖先的任意祖先一定也是u,v的公共祖先。假设x是u,v的公共祖先，LCA(u,v)≤x。倍增求LCA的基础是 2进制能够表示任意整数。所以令u,v的最近公共祖先与u、v分别距离l_u、l_v，并可以将其表示成2进制。

设 dfu[v][k] 表示节点v向上寻找到的第2^k代祖先（比如之前的图中，dfu[4][1]=1），dep[v] 表示 v的深度（根节点的深度依照题目定为1或0）。

不妨设 dep[v]>dep[u] 。首先要使u、v同层，即dep[u]=dep[v]，可以通过将v上移到它的 dep[u]-dep[v] 代祖先来实现，再将dep[v]-dep[u]转为2进制，就可以通过dfu实现。

u、v同层后，设它们距离最近公共祖先l个单位。同样，l也可以表示为2进制，也就可以通过dfu解决。

由于每一次移动都是在2进制下进行，求LCA的复杂度大约可看为 O(log₂n)。

二、算法实现

①大致步骤：

初始化：　 DFS初始化每个点v的dep[v]以及直接父亲（dfu[v][0]）；

　　　　递推计算全部dfu；

计算LCA：上移u、v至同一层；

　同时上移u、v找最近公共祖先；

②初始化：

DFS可以通过参数下传父亲节点以及节点深度（eg:void DFS(int u,int fa,int depth)）。（建议用邻接表的方式）遍历每一个儿子，同时初始化。

根据dfu定义，dfu[v][i+1]表示v的第2ⁱ⁺¹代祖先，也就是第(2ⁱ+2ⁱ)代祖先。则可以先找到v的第2ⁱ代祖先u，再找到u的第2ⁱ代祖先。递推式如下：

dfu[v][i+1]=dfu[dfu[v][i]][i]; //dfu[v][i]表示v的第2ⁱ代祖先

由于递推过程中，dfu[v][i]已经计算出来了，我们就可以从dfu[v][0]出发推出所有dfu。

③计算LCA(u,v)

为了方便计算，先保证dep[v]>dep[u]。

要将u、v移动到同层，即把v上移(dep[u]-dep[v])层。由于我们知道v的2^k代祖先，我们可以把dep[u]-dep[v]拆分成 2^a1+2^a2+...+2^ap（C++实现可以判断 (dep[v]-dep[u])>>i&1，即2进制的(dep[v]-dep[u])的第i位是否为1），按次上移即可。

如果此时u=v，则说明最初u是v的祖先，则LCA(u,v)=u。

除开上述u=v的情况。由于 LCA(u,v) 的祖先一定也是u,v的公共祖先，所以我们可以将u、v上移到LCA(u,v)的下一层，即u,v的父亲为LCA(u,v)。从高到低枚举i（i最大为ceil(log2(n))，即退化为链后根与叶子节点），如果dfu[u][i]==dfu[v][i]，则说明dfu[u][i]已经是LCA(u,v)或层数已经高于LCA(u,v)了，由于无法直接判断是否是LCA(u,v)，我们就可以选择不上移（目标是将u,v转移到LCA(u,v)的下一层）；如果dfu[u][i]!=dfu[v][i]，则说明还没有到LCA(u,v)，就可以上移。最后就可以移动到LCA(u,v)的下一层。

其实上述操作无非是令u,v到LCA(u,v)的距离为S，将S-1表示为2进制，再通过dfu顺次上移。最后得到dfu[u][0]（或者dfu[v][0]）就是LCA(u,v)了。

三、C++代码

初始化：

 1 void DFS(int u,int fa,int depth)
 2 {
 3     dfu[u][0]=fa;dep[u]=depth; //更新v的父节点以及深度
 4     for(int i=0;i<lnk[u].size();i++) //lnk是vector的邻接表
 5         DFS(lnk[u][i],u,depth+1);
 6 }
 7 void Prepare()
 8 {
 9     DFS(0,-1,1); //先处理出节点的深度(dep)和直接祖先(dfu[0])
10     for(int i=0;i+1<20;i++)
11         for(int j=0;j<n;j++)
12             if(dfu[j][i]<0) dfu[j][i+1]=-1; //上移位置已经超过根节点
13             else dfu[j][i+1]=dfu[dfu[j][i]][i];
14 }

View Code

计算LCA：

 1 int LCA(int u,int v)
 2 {
 3     if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v); //保证u不高于v
 4     for(int i=0;i<20;i++) //拆分二进制
 5         if(((dep[v]-dep[u])>>i)&1) //上移到同一层
 6             v=dfu[v][i];
 7     if(u==v) return u; //u最初是v的根节点
 8     for(int i=19;i>=0;i--)
 9         if(dfu[u][i]!=dfu[v][i])
10             u=dfu[u][i],v=dfu[v][i];
11     return dfu[u][0];
12 }

View Code

The End

Thanks for reading!

- Lucky_Glass

（Tab：如果我有没讲清楚的地方可以直接在邮箱[email protected] email我，在周末我会尽量解答并完善博客~）

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