Softmax的通俗讲解

0 前言

Softmax在机器学习中应用非常广泛，尤其在处理多分类问题，分类器最后的输出单元需要Softmax 函数进行数值处理。但是刚刚接触机器学习的同学可能对Softmax的特点及好处并不理解，当你了解以后会发现，Softmax计算简单，效果显著。

我们先来直观看一下，Softmax究竟是什么意思：我们知道max，假如说我有两个数，a和b，并且a>b，如果取max，那么就直接取a，没有第二种可能。然而，有的时候我们并不想这样，因为这样会造成分值小的那个饥饿。所以我希望分值大的那一项经常取到，分值小的那一项偶尔也可以取到，那么用softmax就可以实现这一操作。

现在还是a和b，a>b，如果我们取按照softmax来计算取a和b的概率，那a的softmax值大于b的，所以a会经常被取到，而b也会偶尔取到，概率跟它们本来的大小有关。所以说不是max，而是 Soft max 那各自的概率究竟是多少呢，这里我们引入softmax的概念及表达式。

1 Softmax 表达式

关于Softmax 函数的定义如下所示：

其中，Vi 是分类器线性输出单元的输出。i表示类别索引，总的类别个数为C。Si表示当前元素的指数与所有元素指数和的比值。Softmax 将多分类的输出数值转化为相对概率，更容易理解和比较。我们来看下面这个例子。

一个多分类问题，C = 4。线性分类器模型最后输出层包含了四个输出值，分别是：

经过Softmax处理后，数值转化为相对概率：

很明显，Softmax的输出表征了不同类别之间的相对概率。可以明显看出，S1 = 0.8390，对应的概率最大，因此，判断预测为第1类的可能性更大。Softmax 将连续数值转化成相对概率，更有利于理解。

实际应用中，使用 Softmax 需要注意数值溢出的问题。因为有指数运算，如果V值很大，经过指数运算后的数值有溢出的可能。所以，需要对V做一些数值处理：即V中的每个元素减去V中的最大值。

相应的python示例代码如下：

scores = np.array([123, 456, 789])    # example with 3 classes and each having large scores
scores -= np.max(scores)    # scores becomes [-666, -333, 0]
p = np.exp(scores) / np.sum(np.exp(scores))

2 Softmax 损失函数

我们知道，线性分类器的输出是输入x与权重系数矩阵w的相乘，即s = Wx。对于多分类问题，使用 Softmax 对线性输出进行处理。于是，我们来探讨下 Softmax 的损失函数。

其中，Syi是正确类别对应的线性得分函数，Si 是正确类别对应的 Softmax输出。

由于 log 运算符不会影响函数的单调性，我们对 Si 进行 log 操作：

我们希望 Si 越大越好，即正确类别对应的相对概率越大越好，那么就可以对 Si 前面加个负号，来表示损失函数：

对上式进一步处理，把指数约去：

这样，Softmax 的损失函数就转换成了简单的形式。

举个简单的例子，上一小节中得到的线性输出为：

假设 i = 1 为真实样本，计算其损失函数为：

若令 i = 0 为真实样本，计算其损失函数为：

3 softmax 反向梯度

推导了 Softmax 的损失函数之后，接下来继续对权重参数进行反向求导。

Softmax 线性分类器中，线性输出为：

其中，下标 i 表示第 i 个样本。

求导过程的程序设计分为两种方法：一种是使用嵌套 for 循环，另一种是直接使用矩阵运算。

使用嵌套 for 循环，对权重 W 求导函数定义如下：

def   softmax_loss_naive (W, X, y, reg) :

  """

 Softmax loss function, naive implementation (with loops)

 Inputs have dimension D, there are C classes, and we operate on minibatches

 of N examples.

 Inputs:

 - W: A numpy array of shape (D, C) containing weights.

 - X: A numpy array of shape (N, D) containing a minibatch of data.

 - y: A numpy array of shape (N,) containing training labels; y[i] = c means

   that X[i] has label c, where 0 <= c < C.

 - reg: (float) regularization strength

 Returns a tuple of:

 - loss as single float

 - gradient with respect to weights W; an array of same shape as W

 """

  # Initialize the loss and gradient to zero.

 loss =  0.0

 dW = np.zeros_like(W)

 num_train = X.shape[ 0 ]

 num_classes = W.shape[ 1 ]

  for  i  in  xrange(num_train):

   scores = X[i,:].dot(W)

   scores_shift = scores - np.max(scores)

   right_class = y[i]

   loss += -scores_shift[right_class] + np.log(np.sum(np.exp(scores_shift)))

    for  j  in  xrange(num_classes):

     softmax_output = np.exp(scores_shift[j]) / np.sum(np.exp(scores_shift))

      if  j == y[i]:

       dW[:,j] += ( -1  + softmax_output) * X[i,:]

      else :

       dW[:,j] += softmax_output * X[i,:]

 loss /= num_train

 loss +=  0.5  * reg * np.sum(W * W)

 dW /= num_train

 dW += reg * W

  return  loss, dW

使用矩阵运算，对权重 W 求导函数定义如下：

def   softmax_loss_vectorized (W, X, y, reg) :

  """

 Softmax loss function, vectorized version.

 Inputs and outputs are the same as softmax_loss_naive.

 """

  # Initialize the loss and gradient to zero.

 loss =  0.0

 dW = np.zeros_like(W)

 num_train = X.shape[ 0 ]

 num_classes = W.shape[ 1 ]

 scores = X.dot(W)

 scores_shift = scores - np.max(scores, axis =  1 ).reshape( -1 , 1 )

 softmax_output = np.exp(scores_shift) / np.sum(np.exp(scores_shift), axis= 1 ).reshape( -1 , 1 )

 loss = -np.sum(np.log(softmax_output[range(num_train), list(y)]))

 loss /= num_train

 loss +=  0.5  * reg * np.sum(W * W)

 dS = softmax_output.copy()

 dS[range(num_train), list(y)] +=  -1

 dW = (X.T).dot(dS)

 dW = dW / num_train + reg * W  

  return  loss, dW

实际验证表明，矩阵运算速度要比嵌套循环快很多，特别是在训练样本数量多的情况下。我们使用 CIFAR-10 数据集中约5000个样本对两种求导方式进行测试对比：

tic = time.time()

loss_naive, grad_naive = softmax_loss_naive(W, X_train, y_train,  0.000005 )

toc = time.time()

print( 'naive loss: %e computed in %fs'  % (loss_naive, toc - tic))

tic = time.time()

loss_vectorized, grad_vectorized = softmax_loss_vectorized(W, X_train, y_train,  0.000005 )

toc = time.time()

print( 'vectorized loss: %e computed in %fs'  % (loss_vectorized, toc - tic))

grad_difference = np.linalg.norm(grad_naive - grad_vectorized, ord= 'fro' )

print( 'Loss difference: %f'  % np.abs(loss_naive - loss_vectorized))

print( 'Gradient difference: %f'  % grad_difference)

结果显示为：

>> naive loss: 2.362135e+00 computed in 14.680000s

>> vectorized loss: 2.362135e+00 computed in 0.242000s

>> Loss difference: 0.000000

>> Gradient difference: 0.000000

显然，此例中矩阵运算的速度要比嵌套循环快60倍。所以，当我们在编写机器学习算法模型时，尽量使用矩阵运算，少用嵌套循环，以提高运算速度。

4 Softmax 与 SVM

Softmax线性分类器的损失函数计算相对概率，又称交叉熵损失（Cross Entropy Loss）。线性 SVM 分类器和 Softmax 线性分类器的主要区别在于损失函数不同。SVM 使用的是 hinge loss，更关注分类正确样本和错误样本之间的距离「Δ = 1」，只要距离大于 Δ，就不在乎到底距离相差多少，忽略细节。而 Softmax 中每个类别的得分函数都会影响其损失函数的大小。例如，类别个数 C=3，两个样本的得分函数分别为[10, -10, -10]，[10, 9, 9]，真实标签为第0类。对于SVM来说，这两个 Li 都为0；对于Softmax来说，这两个 Li 分别为0和0.55，差别很大。

5 Softmax的正则化参数 λ

接下来，谈一下正则化参数 λ 对 Softmax 的影响。我们知道正则化的目的是限制权重参数 W 的大小，防止过拟合。正则化参数 λ 越大，对 W 的限制越大。例如，某3分类的线性输出为 [1, -2, 0]，相应的 Softmax 输出为[0.7, 0.04, 0.26]。假设，第0类是正确类别，显然0.7远大于0.04和0.26。若使用正则化参数 λ，由于 λ 限制了 W 的大小，得到的线性输出也会等比例缩小，初始的线性输出[1, -2, 0] 就会变成类似于 [0.5, -1, 0]，相应的 Softmax 输出为[0.55, 0.12, 0.33]。显然，正确类别和错误类别之间的相对概率差距变小了。

也就是说，正则化参数 λ 越大，Softmax 各类别输出越接近。大的 λ 实际上是“均匀化”正确样本与错误样本之间的相对概率。但是，概率大小的相对顺序并没有改变，因此也不会影响到对 Loss 的优化算法。