多层前馈神经网络及BP算法

1.多层前馈神经网络
首先说下多层前馈神经网络，BP算法，BP神经网络之间的关系。多层前馈（multilayer feed-forward）神经网络由一个输入层、一个或多个隐藏层和一个输出层组成，后向传播(BP)算法在多层前馈神经网络上面进行学习，采用BP算法的（多层）前馈神经网络被称为BP神经网络。给出一个多层前馈神经网络的拓扑结构，如下所示：

图1 多层前馈神经网络

神经网络的拓扑结构包括：输入层的单元数、隐藏层数(如果多于一层)、每个隐藏层的单元数和输出层的单元数。神经网络可以用于分类（预测给定元组的类标号）和数值预测（预测连续值输出）等。


2.后向传播（BP）算法详解
（1）初始值权重
神经网络的权重被初始化为小随机数，每个神经元都有一个相关联的偏置，同样也被初始化为小随机数。
（2）前向传播输入
以单个神经网络单元为例，如下所示：

图2 神经网络单元

给定隐藏层或输出层的单元$j$，到单元$j$的净输入$I_{j}$，如下所示：

$${I_j} = \sum\limits_i {{w_{ij}}{O_i} + {\theta _j}}$$
其中， $w_{ij}$是由上一层的单元 $i$到单元 $j$的连接的权重； $O_i$是上一层的单元 $i$的输出； $\theta_j$是单元 $j$的偏置。需要说明的是偏置充当阀值，用来改变单元的活性。
给定单元 $j$的净输入 $I_j$，单元 $j$的输出 $O_j$，如下所示：
$${O_j} = \frac{1}{{1 + {e^{ - {I_j}}}}}$$
（3）后向传播误差

1. 对于输出层单元$j$，误差$Er{r_j}$用下式计算：
   $$Er{r_j} = {O_j}\left( {1 - {O_j}} \right)\left( {{T_j} - {O_j}} \right)$$
   其中，$O_j$是单元$j$的实际输出，而$T_j$是$j$给定训练元组的已知目标值。需要说明的是，${O_j}\left( {1 - {O_j}} \right)$是逻辑斯缔函数的导数。
2. 对于隐藏层单元$j$，它的误差用下式计算：
   $$Er{r_j} = {O_j}\left( {1 - {O_j}} \right)\sum\limits_k {Er{r_k}{w_{jk}}}$$
   其中，$w_{jk}$是由下一较高层中单元$k$到单元$j$的连接权重，而$Er{r_j}$是单元$k$的误差。
3. 权重更新，如下所示：
   $$\begin{array}{l} \Delta {w_{ij}} = \left( l \right)Er{r_j}{O_i} \\ {w_{ij}} = {w_{ij}} + \Delta {w_{ij}} \\ \end{array}$$
   其中，$\Delta {w_{ij}}$是权重$w_{ij}$的改变量，变量$l$是学习率，通常取0.0和1.0之间的常数值。
4. 偏置更新，如下所示：
   $$\begin{array}{l} \Delta {\theta _j} = \left( l \right)Er{r_j} \\ {\theta _j} = {\theta _j} + \Delta {\theta _j} \\ \end{array}$$
   其中，$\Delta {\theta _j}$是$\theta_j$的改变量。
5. 权重和偏置更新
   如果每处理一个样本就更新权重和偏置，称为实例更新（case update）；如果处理完训练集中的所有元组之后再更新权重和偏置，称为周期更新（epoch update）。理论上，反向传播算法的数据推导使用周期更新，但是在实践中，实例更新通常产生更加准确的结果。

说明：误差反向传播的过程就是将误差分摊给各层所有单元，从而获得各层单元的误差信号，进而修正各单元的权值，即权值调整的过程。

（4）终止条件
如果满足条件之一，就可以停止训练，如下所示：

1. 前一周期所有的都太小，小于某个指定的阀值。
2. 前一周期误分类的元组百分比小于某个阀值。
3. 超过预先指定的周期数。

实践中，权重收敛可能需要数十万个周期。神经网络的训练有很多的经验和技巧，比如我们就可以使用一种称为模拟退火的技术，使神经网络确保收敛到全局最优。

3.用BP训练多层前馈神经网络
举个例子具体说明使用BP算法训练多层前馈神经网络的每个细节，如下所示：

图3 用BP算法训练多层前馈神经网络

设置学习率为0.9，第一个训练元组为$X = \left\{ {1,0,1} \right\}$，其类标号为1。神经网络的初始权重和偏置值如表1所示：

表1 初始输入、权重和偏置值

根据给定的元组，计算每个神经元的净输入和输出，如表2所示：

表2 净输入和输出的计算

每个神经元的误差值如表3所示：

表3 每个节点误差的计算

说明：从误差的计算过程来理解反向（BP）传播算法也许更加直观和容易。
权重和偏置的更新如表4所示：

表4 权重和偏置更新的计算

说明：将该神经网络模型训练好后，就可以得到权重和偏执参数，进而做二分类。

4.用Python实现BP神经网络 [3]
神经网络拓扑结构，如下所示：

图4 神经网络拓扑结构

解析：
（1）第33和35行：l1和l2分别表示第1层和第2层神经元的输出。（第0层表示元组输入）
（2）第37行：l2_error与相对应。
（3）第40行：l2_delta与输出层误差相对应。
（4）第42行：l1_error与相对应。
（5）第43行：l1_delta与隐藏层误差相对应。
（6）第45行：l1.T.dot(l2_delta)与相对应，而syn1与相对应。
（7）第46行：l0.T.dot(l1_delta)与相对应，而syn0与相对应。
说明：
一边代码，一边方程，做到代码与方程的映射。这是一个基础的三层BP神经网络，但是麻雀虽小五脏俱全。主要的不足有几点：没有考虑偏置；没有考虑学习率；没有考虑正则化；使用的是周期更新，而不是实例更新（一个样本）和批量更新（m个样本）。但是，足以理解前馈神经网络和BP算法的工作原理。神经网络和BP算法的详细数学推导参考[5]。

参考文献：
[1] 数据挖掘：概念与技术（第三版）
[2] 使用Python构造神经网络：http://www.ibm.com/developerworks/cn/linux/l-neurnet/
[3] 一个11行Python代码实现的神经网络：http://python.jobbole.com/82758/
[4] 用BP人工神经网络识别手写数字：http://blog.csdn.net/gzlaiyonghao/article/details/7109898
[5] 反向传导算法：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E5%8F%8D%E5%90%91%E4%BC%A0%E5%AF%BC%E7%AE%97%E6%B3%95