1.系数表示法加拿大28平台出租 haozbbs.com Q1446595067
我们最常用的多项式表示法就是系数表示法，一个次数界为n
的多项式S(x)可以用一个向量s=(s0,s1,s2,⋯,sn−1)
系数表示如下：
S(x)=∑k=0n−1skxk
系数表示法很适合做加法，可以在O(n)
的时间复杂度内完成，表达式为：
S(x)=A(x)+B(x)=∑k=0n−1(ak+bk)xk
当中
sk=ak+bk
但是，系数表示法不适合做乘法，时间复杂度为O(n2)
，表达式为：
S(x)=A(x)B(x)=∑k=0n−1(∑j=0n−1ajbk−j)xk
当中
sk=∑j=0kajbk−j
这就是卷积的一般形式，记s=a⊗b
，我们要想办法加速这个过程。
2.点值表示法
顾名思义，点值就是多项式在一个点处的值。多项式A(x)
的点值表达是一个集合：
{(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn−1,yn−1)}
使得对于k=0,1,2,⋯,n−1
有xk两两不相同且yk=A(xk)
。
n
个点可以确定唯一一个n
次多项式。
点值表达有很多优良的性质，加法和乘法都可以在O(n)
的时间复杂度内完成。
现有A(x)
的点值表达
{(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn−1,yn−1)}
和B(x)的点值表达
{(x0,y′0),(x1,y′1),(x2,y′2),⋯,(xn−1,y′n−1)}
则C(x)=A(x)+B(x)
的点值表达为：
{(x0,y0+y′0),(x1,y1+y′1),(x2,y2+y′2),⋯,(xn−1,yn−1+y′n−1)}
C(x)=A(x)B(x)
的点值表达为：
{(x0,y0y′0),(x1,y1y′1),(x2,y2y′2),⋯,(xn−1,yn−1y′n−1)}
可见，点值表示可以帮助我们更快地进行卷积，可是如何在系数表示法和点值表示法之间相互转化呢？
3、复数
当x
为实数时，无法很好地对转换方法进行优化。为了优化计算xn所浪费的时间，我们需要x有循环的性质。但点值表示法需要n个两两不同的值，而在实数域中只有1和−1
，因此，我们需要复数的帮助。
1.复数、复平面的定义
我们把形如a+bi
的数称为复数z，其中a为实部(Real)，记为Rz；b为虚部(Imaginary)，记为Iz
。
每一点都对应唯一复数的平面叫复平面，如图：
模长：复平面上原点到复数z
的距离，记为|z|。根据勾股定理，|z|=|a+bi|=a2+b2−−−−−−√
辐角：复平面上x
轴与复数z所对应向量之间的夹角，在(−π2,π2)之间的记为辐角主值argz
。
2.欧拉公式
大名鼎鼎的欧拉公式：
eit=cost+isint
几何意义：
当中θ
为角度，t
为弧长。
则根据欧拉公式，可将一个复数表示为一个二元组(a,θ)
，即模长和辐角。值为:a(cosθ+isinθ)
特殊情况：欧拉恒等式eiπ+1=0
3.复数的运算
（1）复数加法
运算规则：实部、虚部分别相加
(a+bi)+(c+di)=a+c+bi+di=(a+c)+(b+d)i
几何意义：如图
结果相当于两个向量所构成的平行四边形的对角线。如果把一个复数所对应的向量视为一个移动的变换，那么向量加法就是连续运用这两个变换相当于的新变换。
（2）复数乘法
运算规则：展开
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i
几何意义：如图
如图，arga+argb=arga×b
,|a|×|b|=|a×b|
总结就是：模长相乘，辐角相加。
因此，如果模长为1
，那么它的n
次方一定还在单位圆上。
证明：
根据欧拉公式，已知x=(a1,θ1)=a1(cosθ1+isinθ1),y=(a2,θ2)=a2(cosθ2+isinθ2)
则
x×y=a1a2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=a1a2[(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]=a1a2[(cos(θ1+θ2)+cos(θ1−θ2)2+cos(θ1+θ2)−cos(θ1−θ2)2)+i(sin(θ1+θ2)−sin(θ1−θ2)2+sin(θ1+θ2)+sin(θ1−θ2)2)]=a1a2cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)
∴|x×y|=|x|×|y|,arg(x×y)=argx+argy
证毕。
4.单位复数根
（1）基本性质
单位复数根是方程ωn=1
的解，第k个解记为ωkn(这里的k
事实上是乘方的含义)
n=16
的解在复平面上的位置如下：
可以看到，n个解把单位圆分成了n等弧，交点即为根。而且，ωkn实际上是ωn的n次方，模长仍为1
,辐角翻倍！
为什么呢？
∵|xn|=|x|n,argxn=nargx
∴|ω|n=|ωn|,argωn=nargω
∴|ω|n=1(|ω|∈R+),argω=360∘n
∴|ω|=1,argω=360∘n
这就很明显了。
所以，ωkn
事实上表示的是ωn的k次幂。为什么选择单位复数根呢？因为它有循环的优良性质，即ωnn=1。由于其他的都可以由ω1n得到，因此称为主n次单位根，又记为ωn
。
根据单位复数根的平分圆的意义和欧拉公式，ωkn=e2πikn=cos2πkn+isin2πkn
。
（2）计算引理
显然，由于单位复数根循环(ωznn=e2πiz=[(eπi)2]z=1z=1
)，有变换恒等式：
ωkn=ωk+wnn(w∈Z)
每一份再分成k
份，编号也变成k倍，位置自然不变(ωdkdn=e2πidkdn=e2πikn=ωkn
)，所以有消去引理：
ωdkdn=ωkn
由于过了n/2
就会绕过半圈(ωn/2n=eπinn=eπi=−1
)，所以有折半引理：
ωkn=−ωk±n/2n
对单位复数根求和，根据几何级数(等差数列求和公式)，可得(∑n−1k=0(ωkn)j=(ωnn)j−1ω1n−1=0
)，即有求和引理：
∑k=0n−1(ωkn)j=0
4、DFT&FFT
1.DFT
DFT就是求多项式A(x)
在点(ω0n,ω1n,ω2n,⋯,ωn−1n)
处取值的过程。即：
yk=A(ωkn)=∑j=0n−1ajωkjn
结果y=(y0,y1,y2,⋯,yn−1)
就是a的离散傅里叶变换(DFT),记为y=DFTn(a)
2.FFT
（1）递归
DFT的O(n2)
算法太慢了，FFT使用分治策略优化速度到O(nlogn)
。
现在，我们假设n=2t
，设原系数a=(a0,a1,a2,⋯,an−1)，偶数部分a1=(a0,a2,a4,⋯,an−2)，奇数部分a2=(a1,a3,a5,⋯,an−1)，y=DFTn(a)，y1=DFTn/2(a1)，y2=DFTn/2(a2)，现在我们要合并y1,y2，得到y
(蝴蝶操作)。
对于k<n/2：
yk=A(ωkn)=∑j=0n−1ajωkjn=∑j=0n/2−1a2jω2kjn+∑j=0n/2−1a2j+1ω2kj+kn=∑j=0n/2−1a2jω2kjn+ωkn∑j=0n/2−1a2j+1ω2kjn=∑j=0n/2−1a1jωkjn/2+ωkn∑j=0n/2−1a2jωkjn/2=y1k+ωkny2k(消去引理)
对于k≥n/2
：
yk=A(ωkn)=∑j=0n−1ajωkjn=∑j=0n/2−1a2jω2kjn+∑j=0n/2−1a2j+1ω2kj+kn=∑j=0n/2−1a2jω2kjn+ωkn∑j=0n/2−1a2j+1ω2kjn=∑j=0n/2−1a1jωkjn/2+ωkn∑j=0n/2−1a2jωkjn/2=∑j=0n/2−1a1jω(k−n/2)jn/2+ωkn∑j=0n/2−1a2jω(k−n/2)jn/2=y1k−n/2+ωkny2k−n/2=y1k−n/2−ωk−n/2ny2k−n/2(消去引理)(变换恒等式)(折半引理)
以下图的递归序，就可以在O(nlogn)
的时间复杂度内完成求解了。
（2）迭代
递归方法消耗内存过大，不忍直视。我们每次把下标分为奇数部分和偶数部分，是否有办法直接求出最后的递归运算顺序，以避免递归呢？
这样想：第一次划分，我们按照二进制的最后一位分开两个部分；第二次划分，按照二进制的倒数第二位；以此类推。因此，结果顺序就是原序列按照二进制位翻转的大小排序的结果。只要依次交换ak,arev(k)
，求出序列，就可以用迭代方法相邻归并实现快速傅里叶变换。
如n=8
时，求出二进制：
0 1 2 3 4 5 6 7
0002
0012
0102
0112
1002
1012
1102
1112
翻转：
0 1 2 3 4 5 6 7
0002
1002
0102
1102
0012
1012
0112
1112
按翻转后的值排序：
0 4 2 6 1 5 3 7
0002
0012
0102
0112
1002
1012
1102
1112
这样就可以迭代实现了。
5、IDFT&IFFT
何把点值表达变回系数表达呢？如果把求值写成矩阵形式，就是：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ω0nω0nω0nω0n⋮ω0nω0nω1nω2nω3n⋮ωn−1nω0nω2nω4nω6n⋮ω2(n−1)nω0nω3nω6nω9n⋮ω3(n−1)n⋯⋯⋯⋯⋱⋯ω0nωn−1nω2(n−1)nω3(n−1)n⋮ω(n−1)2n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0a1a2a3⋮an−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢y0y1y2y3⋮yn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
如果我们要把y
变成a
，就需要求出第一个矩阵的逆，即：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0a1a2a3⋮an−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ω0nω0nω0nω0n⋮ω0nω0nω1nω2nω3n⋮ωn−1nω0nω2nω4nω6n⋮ω2(n−1)nω0nω3nω6nω9n⋮ω3(n−1)n⋯⋯⋯⋯⋱⋯ω0nωn−1nω2(n−1)nω3(n−1)n⋮ω(n−1)2n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥−1⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢y0y1y2y3⋮yn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
这个范德蒙德矩阵极为特殊，它的逆矩阵是：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0a1a2a3⋮an−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=1n⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ω0nω0nω0nω0n⋮ω0nω0nω−1nω−2nω−3n⋮ω−(n−1)nω0nω−2nω−4nω−6n⋮ω−2(n−1)nω0nω−3nω−6nω−9n⋮ω−3(n−1)n⋯⋯⋯⋯⋱⋯ω0nω−(n−1)nω−2(n−1)nω−3(n−1)n⋮ω−(n−1)2n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢y0y1y2y3⋮yn−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
只是把每项取倒数，并将结果除以n
即可。
证明：
记原矩阵为Ann
,我们给出的矩阵为Bnn
。
∴Aij=ωijn,Bij=1nω−ijn(0≤i,j≤n−1)
ABij=∑k=0n−1AikBkj=1n∑k=0n−1ωiknω−kjn=1n∑k=0n−1ωik−kjn=1n∑k=0n−1(ωi−jn)k
当i=j
时：ABij=1n∑k=0n−11k=1n×n=1
当i≠j
时：ABij=1n∑k=0n−1(ωi−jn)k=0(求和引理)
综上所述，AB=In
，即B=A−1
以上，离散傅里叶逆变换(IDFT)的表达式为：
ak=1n∑j=0n−1ykω−kjn
记a=IDFTn(y)。
同理，可以用相同的方法把IDFT加速到O(nlogn)
,称为IFFT。
6、NTT
1.定义
有时候我们会想要模素数p
意义下的多项式乘法。此时，由次数界为n的多项式A(x),B(x)的系数表达a,b求S(x)=A(x)B(x)的系数表达s
的公式为：
sk=∑j=0kajbk−jmodp
FFT无能为力，我们需要一种新的DFT，以数论的办法进行，这就是快速数论变换(NTT)。
2.原根
（1）定义
我们需要一种有数论循环性质的新数，原根恰好满足我们的要求。
设m
为正整数，a为整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m
的一个原根。
假设g
是素数p的原根，有1<g<p，且对于k=0,1,2,⋯,p−1，有gkmodp的结果两两不同，且gp−1≡1(modp)
。
可以发现，原根同样有循环的性质。因此，我们类比ωkn
的定义，把原来的ωkn=e2πikn替换为gk(p−1)n
。
（2）性质
我们来证明一些类似单位复数根的性质。