AVL树图文解析以及实现

其他 2018-07-09 12:08:06 阅读次数: 0

本文转载自：AVL树图文解析和C实现

概要

本章介绍AVL树。和前面介绍"二叉查找树"的流程一样，本章先对AVL树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。本篇实现的二叉查找树是C语言版的，后面章节再分别给出C++和Java版本的实现。
建议：若您对"二叉查找树"不熟悉，建议先学完"二叉查找树"再来学习AVL树。

目录

1. AVL树的介绍
2. AVL树的C实现
3. AVL树的C实现(完整源码)
4. AVL树的C测试程序

转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html

更多内容: 数据结构与算法系列 目录 

(01) AVL树(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) AVL树(二)之 C++的实现
(03) AVL树(三)之 Java的实现

 

AVL树的介绍

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于"二叉查找树"，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。 (关于树的高度等基本概念，请参考"二叉查找树(一)之 图文解析 和 C语言的实现 ")

上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理。学AVL树，重点的地方也就是它的旋转算法；在后文的介绍中，再来对它进行详细介绍。

AVL树的C实现

1. 节点

1.1 定义

复制代码 
typedef int Type;

typedef struct AVLTreeNode{
    Type key;                    // 关键字(键值)
    int height;
    struct AVLTreeNode *left;    // 左孩子
    struct AVLTreeNode *right;    // 右孩子
}Node, *AVLTree;
复制代码

AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) key -- 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。

1.2 节点的创建

复制代码 
/*
 * 创建AVL树结点。
 *
 * 参数说明：
 *     key 是键值。
 *     left 是左孩子。
 *     right 是右孩子。
 */
static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right)
{
    Node* p;

    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->height = 0;
    p->left = left;
    p->right = right;

    return p;
}
复制代码

1.3 树的高度

复制代码 
#define HEIGHT(p)    ( (p==NULL) ? 0 : (((Node *)(p))->height) )

/*
 * 获取AVL树的高度
 */
int avltree_height(AVLTree tree)
{
    return HEIGHT(tree);
}
复制代码

关于高度，有的文章中将"空二叉树的高度定义为-1"，而本文采用维基百科上的定义：树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0，非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1，根的子节点为第2层，依次类推)。

1.4 比较大小

#define MAX(a, b)    ( (a) > (b) ? (a) : (b) )

2. 旋转
前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树"，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：


上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

(1) LL：LeftLeft，也称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

(2) LR：LeftRight，也称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

(3) RL：RightLeft，称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

(4) RR：RightRight，称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。
     例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍"LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着"左孩子，即k1"使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，"k1的右子树"变成"k2的左子树"。

LL的旋转代码

复制代码 
/*
 * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
    AVLTree k1;

    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;
    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}
复制代码

2.2 RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

RR的旋转代码

复制代码 
/*
 * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* right_right_rotation(AVLTree k1)
{
    AVLTree k2;

    k2 = k1->right;
    k1->right = k2->left;
    k2->left = k1;

    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;
    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;

    return k2;
}
复制代码

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：


第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。

LR的旋转代码

复制代码 
/*
 * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
    k3->left = right_right_rotation(k3->left);

    return left_left_rotation(k3);
}
复制代码

2.4 RL的旋转
RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转"，第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。


RL的旋转代码

复制代码 
/*
 * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
    k1->right = left_left_rotation(k1->right);

    return right_right_rotation(k1);
}
复制代码


3. 插入
插入节点的代码

复制代码 
/* 
 * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 插入的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key)
{
    if (tree == NULL) 
    {
        // 新建节点
        tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);
        if (tree==NULL)
        {
            printf("ERROR: create avltree node failed!\n");
            return NULL;
        }
    }
    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
    {
        tree->left = avltree_insert(tree->left, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
        {
            if (key < tree->left->key)
                tree = left_left_rotation(tree);
            else
                tree = left_right_rotation(tree);
        }
    }
    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
    {
        tree->right = avltree_insert(tree->right, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
        {
            if (key > tree->right->key)
                tree = right_right_rotation(tree);
            else
                tree = right_left_rotation(tree);
        }
    }
    else //key == tree->key)
    {
        printf("添加失败：不允许添加相同的节点！\n");
    }

    tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;

    return tree;
}
复制代码

4. 删除
删除节点的代码

复制代码 
/* 
 * 删除结点(z)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     ptree AVL树的根结点
 *     z 待删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z)
{
    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
    if (tree==NULL || z==NULL)
        return NULL;

    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
    {
        tree->left = delete_node(tree->left, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
        {
            Node *r =  tree->right;
            if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))
                tree = right_left_rotation(tree);
            else
                tree = right_right_rotation(tree);
        }
    }
    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
    {
        tree->right = delete_node(tree->right, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
        {
            Node *l =  tree->left;
            if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left))
                tree = left_right_rotation(tree);
            else
                tree = left_left_rotation(tree);
        }
    }
    else    // tree是对应要删除的节点。
    {
        // tree的左右孩子都非空
        if ((tree->left) && (tree->right))
        {
            if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right))
            {
                // 如果tree的左子树比右子树高；
                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最大节点。
                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                Node *max = avltree_maximum(tree->left);
                tree->key = max->key;
                tree->left = delete_node(tree->left, max);
            }
            else
            {
                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最小节点。
                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                Node *min = avltree_maximum(tree->right);
                tree->key = min->key;
                tree->right = delete_node(tree->right, min);
            }
        }
        else
        {
            Node *tmp = tree;
            tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
            free(tmp);
        }
    }

    return tree;
}

/* 
 * 删除结点(key是节点值)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 待删除的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key)
{
    Node *z; 

    if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL)
        tree = delete_node(tree, z);
    return tree;
}
复制代码

注意：关于AVL树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，这些操作在"二叉查找树"中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的AVL树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！


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转载自blog.csdn.net/li1914309758/article/details/80951788
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