[BZOJ1999] 树网的核 [数据加强版] (树的直径)

传送门

如果只是想验证算法正确性这里是洛谷数据未加强版

Description

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离： d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即。任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

Input

包含n行：第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, ..., n。从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。所给的数据都是正确的，不必检验。

Output

只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

Sample Input

5 2

1 2 5

2 3 2

2 4 4

2 5 3

Sample Output

HINT

对于70%的数据，n<=200000
对于100%的数据：n<=500000, s<2^31, 所有权值<500

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似乎SPOJ上加强版的数据...

题解

~~好题啊好题~~
T了好几次，深度怀疑写的是不是O(n)算法，最后在各种改进下终于过了QAQ
题目要求最小偏心距，我们分析题意后发现
\(最小偏心距=max(max(dis(k,ij)),dis(i,S),dis(j,T))\)
其中ij表示一段直径上的、起点为i、长度<=s的最长路径
k为非直径上点，\(max(dis(k,ij))\) 表示距离ij最远的非直径点到ij的距离
\(dis(i,S)\)和\(dis(j,T)\)表示i和j到直径一端的距离
(所以\(dis(S,i)+dis(i,j)+dis(j,T)=dis(S,T)\)）
然后用单调队列记录\(max(dis(k,ij))\)便可以O(n)跑了

不过我们再分析一下，发现其实不用单调队列qwq

由于直径有最长性，任何从S,i之间分叉离开直径的子树，其最远点到i的距离一定不会比S更远（否则这就不是直径）
这就说明当ij中不包含点u时，\(dis(k,u)\)一定小于\(dis(i,S),dis(j,T)\)中的一个或两个，所以它一定不会被统计到ij的偏心距中去
这样的话我们只需记录\(max(dis(k,ST))\)的值，
如果\(max(dis(k,ST))\)在当前\(dis(k,ij)\)中，那么这个值有可能比\(dis(i,S),dis(j,T)\)大，统计到当前的偏心距中
如果\(max(dis(k,ST))\)不在当前\(dis(k,ij)\)中，那么所有dis(k,ij)都没有机会被统计，因为我们有上面的结论知道\(dis(i,S),dis(j,T)\)中一定有一个或两个比\(max(dis(k,ST))\)大那么也一定大于所有\(dis(k,ij)\)
所以只需求出\(max(dis(k,ST))\)之后就和之前讲的一样，只不过不用单调队列了
code:

//By Menteur_Hxy
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define M(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define C(i,a,b) for(register int i=(b);i>=(a);i--)
#define E(i,u) for(register int i=head[u];i;i=nxt[i])
#define add(a,b,c) nxt[++ecnt]=head[a],to[ecnt]=b,dis[ecnt]=c,head[a]=ecnt
#define insert(a,b,c) add(a,b,c),add(b,a,c)
using namespace std; 

inline LL rd() {
    LL x=0,fla=1; char c=' ';
    while(c>'9'|| c<'0') {if(c=='-') fla=-fla; c=getchar();}
    while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*fla;
}

inline void out(LL x){
    int a[25],wei=0;
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    for(;x;x/=10) a[++wei]=x%10;
    if(wei==0){ puts("0"); return;}
    for(int j=wei;j>=1;--j) putchar('0'+a[j]);
    putchar('\n');
}

const int N=500010;
int n,s,ecnt,rt,ret,len,md,r,mafa,ans=0x3f3f3f3f,S,T;
int nxt[N<<1],dis[N<<1],to[N<<1],head[N],nd[N],dep[N],sta[N];
int sd[N],td[N],fa[N];
bool inr[N];

inline void dfs(int u,int pre,int num) {
    if(md<=dep[u]) rt=u,md=dep[u];
    E(i,u) { int v=to[i];
        if(v==pre) continue;
        dep[v]=dep[u]+dis[i];
        fa[v]=u;
        dfs(v,u,num+1);
    }
}

inline void dfs2(int u,int pre) {
    if(dep[u]>md) md=dep[u];
    E(i,u) { int v=to[i];
        if(v==pre or inr[v]) continue;
        dep[v]=dep[u]+dis[i]; 
        dfs2(v,u);
    }
} 

int main() {
    n=rd(),s=rd();
    F(i,1,n-1) {int a=rd(),b=rd(),c=rd();insert(a,b,c);}
    dfs(1,0,1); dep[rt]=0; S=rt; fa[S]=0;
    dfs(rt,0,1); T=rt;
    for(int i=T;i;i=fa[i]) sd[i]=dep[i],td[i]=md-sd[i],inr[i]=1;
    int fla=0,ret; 
    for(int i=T;i;i=fa[i]) {
        if(fla) ret=sd[i],sd[i]=td[i],td[i]=ret;
        md=dep[i]=0,dfs2(i,0),mafa=max(mafa,md);
    }
    int t=T;
    for(int i=T;i;i=fa[i]) { if(t==S) break;
        while(td[fa[t]]-td[i]<=s&&fa[t]) t=fa[t]; 
        ans=min(ans,max(mafa,max(td[i],sd[t])));
    }
    out(ans);
    return 0;
}