bzoj4805: 欧拉函数求和（第二次做）

链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805

做法

设$\varphi(x)$的前缀和为$S(x)$
有一个关于欧拉函数的性质：

$$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$$
这样来做：
$$\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)$$
到这里很多同学会把 $d$提前，最终化简成这个样子：
$$\sum_{d=1}^n\varphi(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$$
上面这个式子对我们求前缀和似乎没有什么帮助，以下介绍另一种技巧：
$$\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{k=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\varphi(d)=\sum_{k=1}^nS(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)$$
其中 $k$代表了原式中 $i$是 $d$的几倍
$$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{k=2}^nS(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)$$
到这里，如果直接用类似记忆化搜索的方式求解，时间复杂度是 $O(n^\frac{3}{4})$的，如果预处理 $S(0)$到 $S(n^\frac{2}{3})$，最终的复杂度是 $O(n^\frac{2}{3})$
时间复杂度的计算可能要用到大学知识，以我现在的水平还无法理解。

实践过程中的问题

显然我们预处理使用线性筛，这一部分的和直接用数组连续存储即可，但是我们在记忆化的过程中，当$x$大于$n^\frac{2}{3}$时，肯定没法用$S[x]$直接保存。注意到$\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$在$x\in[\sqrt n,n]$时有最多$n$个取值，因此可以开一个数量级在$\sqrt n$的数组来保存这些值，实际的$S(x)$对应的下标为$n/x$。这样为什么对呢？多个$x$不会对应一个值吗？经过考虑，发现我们具体在做的时候是分块的，用到的$x$一定都是$n/k$的形式，而$k$是这个块的左端点 ，那么$n/x=n/(n/k)$就对应了这个块的右端点，而$n/x$本身被分成哪些块是一定的。计算过程中可能出现$\lfloor\frac{n}{a}\rfloor=\lfloor\frac{n}{b}\rfloor$，对应的分母不同，但取整后的结果是一样的，这个值会被存在$S(n/(n/a))$中，也就是$S(n/(n/b))$中。

代码

//杜教筛
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define maxn 1587410
using namespace std;
ll phi[maxn], f[maxn], prime[maxn], N;
bool mark[maxn];
void init()
{
    ll i, j, t;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++*prime]=i, phi[i]=i-1;
        for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            mark[t=i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){phi[t]=phi[i]*prime[j];break;}
            phi[t]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(i=1;i<maxn;i++)phi[i]+=phi[i-1];
}
ll getf(ll x){return x<maxn?phi[x]:f[N/x];}
void calc(ll  n)
{
    if(n<maxn or f[N/n])return;
    ll &s=f[N/n], k, last;
    s=n*(n+1)>>1;
    for(k=2;k<=n;k=last+1)
    {
        last=n/(n/k);
        calc(n/k);
        s-=getf(n/k)*(last-k+1);
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%lld",&N);
    calc(N);
    printf("%lld",getf(N));
    return 0;
}