摘要
本文旨在讲明：
1）代换，全称量词实例化，存在量词实例化
2）合一，CNF，归结推理
3）前向链接和后向链接
前言
一、温故知新（回顾）
命题逻辑是我们最先学的逻辑，比较简单，也比较好理解。
因为命题逻辑表达能力不够，所有我们又引入了一阶逻辑，即FOL。FOL多了很多新概念新成分，比如全称量词和存在量词。
全称量词通常接蕴含符号。
存在量词通常接合取符号。
FOL中的句子：
1）term（项）
常数符号，变量符号，或者函数符号
2）atomic sentence （原子语句）
谓词符号（with value true or false）
represents a relation between terms
3）complex sentence （复合语句）
Atom（s） joined together using logical connectives（逻辑连接词，与或非蕴含等价） and/or quantifiers
Concepts（FOL的一些概念）：
1）Literal（文字）
原子，原子的否定
2）Clause and Clause set（从句和从句集合）
disjunctions of literal （文字的析取）
3）CNF（conjunctive normal form，合取范式）
conjunction of disjunctions of literal （文字析取的合取范式）
CNFs不包括量词。
二、代换，量词实例化
2.1 问题：已知命题逻辑的推理策略，一阶逻辑下如何推理？
答：我们先要弄清楚这些方面：
1）这个世界（逻辑推理世界）存在些什么？
对于命题逻辑（Propositional Logic，PL），facts（事实） hold or do not hold。
对于一阶逻辑（First Order Logic，FOL），objects with relations between them that hold or do not hold。
2）一阶推理（First order inference，FOI）可以被实现，通过命题逻辑推理（propositional inference）将KB（知识库）转化成PL（命题逻辑）
那么涉及两个问题：
- 怎么转化全称量词？
- 怎么转化存在量词？
2.2 一个例子（理发师悖论 Barber paradox）
理发师给给且只给 不给他们自己理发的人理发。
结论：小镇没有理发师。
B(x): x is a baber.
H(x,y): x shave y.
对于所有的x，B(x) 蕴含 （对于所有的y,非H（y，y） 蕴含 H(x,y)）
（对于所有的x，B(x) 且 对于所有的y,非H（y，y）） 蕴含 H(x,y)
那么怎么用PL中的resolution（归结）来解决呢？
答案：转成不包含量词的CNF（合取范式），然后用归结规则。
2.3 代换（substitution）
FOL和PL的关键区别：
1）量词 quantifiers
2）变量 variables
所以把这两个处理了，就可以把FOL推理转换成PL推理
1）用terms 代替 variables
2）量词的推理规则：（实例化）
对于全称量词：可以用任意可能的terms（基项）来代替变量
对于存在量词：我们可以用一个KB中的常数符号（没有出现在其他地方），这个常数符号叫做Skolem 常数。
三、合一、CNF、归结
3.1 合一（Unifier）
Unification（合一） is the process of finding substitutions
Unifiy takes two sentences and returns a unifier（合一元） if one exists.
3.2 转成CNF（合取范式）
1）消除蕴含
2）把否定向内提
3）标准化向量
4）Skolemize
5）丢掉全称量词
6）合取中放置析取
把连接词（conjunctions）变成从句（clauses）
3.3 归结
PL版本：
归结反驳：归结到CNF，推导出矛盾（空从句）
FOL版本：
得用到Unifier，合一元
归结反驳