ZOJ 4029 Now Loading!!!（前缀和+二分优化）

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DreamGrid has n integers $a_1,a_2,\dots,a_n$. DreamGrid also has n queries, and each time he would like to know the value of

$$\sum\limits_{1 \le i \le n}\Bigl\lfloor \frac{a_i}{\lceil\log_{p}a_i\rceil}\Bigr\rfloor$$ for a given number p, where $\lfloor x \rfloor = \max\{y \in \mathbb{Z} \mid y \le x\}$.

Input

There are multiple test cases. The first line of input is an integer n indicating the number of test cases. For each test case: The first line contains two integers n and m ($1 \le n, m \le 5 \times 10^5$) – the number of integers and the number of queries.
The second line contains n integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($2 \le a_i \le 10^{9}$).
The third line contains m integers ($2 \le p_i \le 10^{9}$).
It is guaranteed that neither the sum of all n nor the sum of all m exceeds $2 \times 10^6$.

Output

For each test case, output an integer $(\sum\limits_{i=1}^{m} i \cdot z_i) \bmod 10^9$, where $z_i$ is the answer for the i-th query.

Sample Input

2
3 2
100 1000 10000
100 10
4 5
2323 223 12312 3
1232 324 2 3 5

Sample Output

11366
45619

大致题意：给你 ${a_n}$和${p_n}$，然后让你求$(\sum\limits_{i=1}^{m} i \cdot \sum\limits_{j=1}^{n}\Bigl\lfloor \frac{a_j}{\lceil\log_{p}a_j\rceil}\Bigr\rfloor) \bmod 10^9$.

显然，直接计算的复杂度是O(nm)的，对于$1 \le n, m \le 5 \times 10^5$的数据来说显然是会TLE的。但是我们考虑到分母$log_{p}a_j$的取值很少，只能是[2,30]，所以可以考虑根据把分母相同的一起计算。首先，我们对${a_n}$进行排序，然后对于每一个给定的$p_i$，根据$p_i$的不同次方来统计。例如当考虑$p_i^j$时，我们要统计$\sum\limits_{p_i^{k-1}<a_k\le p_i^k}^{n} \Bigl\lfloor\frac{a_k}{k}\Bigr\rfloor$。由于${a_n}$已经排好序，所以我们可以用二分的方法确定满足条件的$a_k$的范围，然后用前缀和求得区间和。

这样对于每一个$p_i$，分成$log_{p_i}a_n$个部分计算，每个部分二分出$a_k$的范围再前缀和计算，总的复杂度O(m$logp_i loga_i$)。但是关于前缀和部分，要注意先求和再除以某个数字向下取整 与 先对每个数字向下取整再求和是不一样的。我们要的是后者，所以我们在预处理前缀和的时候，要根据分母的不同求多个前缀和，第i个前缀和存的是每个数字先除以i之后再求的前缀和。具体步骤见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000000
#define LL long long
#define N 500010
using namespace std;

int a[N],s[33][N],ans;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int T; cin>>T;
    while(T--)
    {
        ans=0;
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        //memset(s,0,sizeof(s));
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        sort(a+1,a+1+n);
        for(int j=1;j<=32;j++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
                s[j][i]=(a[i]/j+s[j][i-1])%mod;
        for(LL i=1;i<=m;i++)
        {
            LL y,x,res=0,t=0;
            cin>>y; x=y; int last=0;
            while(x/y<=a[n])
            {
                t++;
                int pos=upper_bound(a+1,a+1+n,x)-a;
                res+=(s[t][pos-1]-s[t][last]+mod)%mod; last=pos-1;
                if (x<a[n]) x*=y; else break;
            }
            ans=(ans+res%mod*i%mod)%mod;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}