RSA加密解密算法Java

前言

RSA公钥加密算法是1977年由Ron Rivest、Adi Shamirh和LenA dleman开发的。RSA取名来自开发他们三者的名字。RSA是目前最有影响力的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的所有密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但那时想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法，签名文件，Https安全网络协议，github本地和远程库关联等等。

1.RSA加密算法实现

2.RSA解密算法实现

3.遇到的问题

4.总结

产生秘钥：

选两个保密的大素数p和q；
计算n=p*q,f(n)=(p-1)*(q-1),其中f(n)是n的欧拉函数值；
选一整数e，满足1<e<f(n),且gcd(f(n),e)=1;
计算d，满足d*e≡1mod(f(n)),即d是e在模f(n)下的乘法逆元因e与f(n)互素，由模运算可知，它的乘法逆元一定存在；
以{e,n}为公开钥，{d,n}为秘密钥

加密：

加密是首先将明文比特串分组，使得每个分组对应的十进制数小于n，即分组长度小于log2(n)。然后每个明文分组m，作加密运算：

c≡m^e mod n

解密：

对明文分组的解密运算为：

m≡c^d mod n

首先选取保密的两个大素数p和q。然后求他们的乘积n=p*q，n的欧拉函数值。然后选取任意的e，并且满足1<e<f(n)，e与n的欧拉函数值f(n)互素。最后利用我们选取的e来加密明文文件。

在我的程序中我把p和q选取100内的素数，并且程序把p和q自动生成。程序利用生成的p和q的值来求它们的乘积n=p*q和n的欧拉函数值f(n)。然后选取与f(n)互素的整数e，按照给定的公式生成密文文件

生成密钥和密文的相关公式：

n=p*q f(n)=(p-1)*(q-1)

c≡m^e mod n

相关的代码与结果如下：

生成p和q的JAVA代码：

    SecureRandom random=new SecureRandom();
random.setSeed(new Date().getTime());
BigInteger p , q;
while(!(p=BigInteger.probablePrime(bitlength,random)).isProbablePrime(1)){
            continue;
        }//生成大素数p        
while(!(q=BigInteger.probablePrime(bitlength,random)).isProbablePrime(1)){
            continue;
        }//生成大素数q

生成f、n、e的值：

SecureRandom random=new SecureRandom();
random.setSeed(new Date().getTime());
BigInteger n=p.multiply(q);//生成n
         //生成f
 BigInteger f =p.subtract(BigInteger.ONE).multiply(q.subtract(BigInteger.ONE));
         //生成一个比k小的b,或者使用65537
BigInteger e=BigInteger.probablePrime(bitlength-1, random);

生成密文d的相关代码：

private static BigInteger x; //存储临时的位置变量x，y 用于递归
private static BigInteger y;
    //欧几里得扩展算法
    public static BigInteger ex_gcd(BigInteger a,BigInteger b){
        if(b.intValue()==0){
            x=new BigInteger("1");
            y=new BigInteger("0");
            return a;
        }
        BigInteger ans=ex_gcd(b,a.mod(b));
        BigInteger temp=x;
        x=y;
        y=temp.subtract(a.divide(b).multiply(y));
        return ans;
    }

//求反模 
    public static BigInteger cal(BigInteger a,BigInteger k){
        BigInteger gcd=ex_gcd(a,k);
        if(BigInteger.ONE.mod(gcd).intValue()!=0){
            return new BigInteger("-1");
        }
        //由于我们只求乘法逆元 所以这里使用BigInteger.One,实际中如果需要更灵活可以多传递一个参数,表示模的值来代替这里
        x=x.multiply(BigInteger.ONE.divide(gcd));
        k=k.abs();
        BigInteger ans=x.mod(k);
        if(ans.compareTo(BigInteger.ZERO)<0) ans=ans.add(k);
        return ans;
    }

加密代码

public static BigInteger encrypt(String text) {
        BigInteger res = BigInteger.ONE;
        BigInteger big2 = new BigInteger(String.valueOf(2));
        BigInteger data = new BigInteger(text);
        data = data.mod(n);
        for (; e.compareTo(BigInteger.ZERO) != 0; e = e.divide(big2)) {
            if (e.mod(big2).compareTo(BigInteger.ONE) == 0)
                res = (res.multiply(data)).mod(n);
               data = (data.pow(2)).mod(n);
        }
        return res;
    }

解密代码

  BigInteger res = BigInteger.ONE;
        BigInteger big2 = new BigInteger(String.valueOf(2));
        encrypt = encrypt.mod(n);
        for (; d.compareTo(BigInteger.ZERO) != 0; d = d.divide(big2)) {
            if (d.mod(big2).compareTo(BigInteger.ONE) == 0)
                res = (res.multiply(encrypt)).mod(n);
            encrypt = (encrypt.pow(2)).mod(n);
        }

问题

生成的q,p超过12位时同样加密，解密是可以正确的解密，破解时有的时候解密结果出错。（原因：随着密钥变长，暴力破解的质越多，满足的因式分解p,q组合越多，私钥确实是其中一个）。

有时候生成的密文和原来的明文相同，出现这样的问题可能跟e的选取有关。

如果输入的原文为多个0或者一个1时，加密后的明文和密文是一样的，这种情况可以使用加salt的方式解决。

总结

我编写的RSA加密解密算法的程序的功能特别的简单，我编写的是对于五位以下数字的加密和解密。虽然看起来很简单，但是实现出来不那么容易了，我通过编写这么小的一个RSA的加密解密算法，我意识到了RSA算法的安全性很高。

虽然我编写了解密的算法，但没有详细的分析不了解密的一些问题，我成功的解密了低位的数字的加密，只要密钥足够长的目前还不知道怎么破解。

RSA加密解密算法Java

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