[BZOJ3925][Zjoi2015]地震后的幻想乡（期望+状压dp）

不会积分的本蒟蒻真的想不出此题。

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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3925

Solution

显然，如果已经知道了 $m$ 条边的权值，那么可以将边按权值排序，和 Kruskal 一样，从小到大考虑每一条边，如果加入一条边后不形成环就加入这条边。树结构形成（有 $n-1$ 条边被加入）时，最后加入的一条边（最大边）就是需要的修复时间。
根据 HINT 里的说明可以得出，我们只需要求出最大边在这 $m$ 条边中排名的期望值，然后再除以 $m+1$ ，就得到了修复时间的期望值。
设 $P(i)$ 表示按随机顺序加入前 $i$ 条边，恰好把图连通的概率。
「恰好」的概念：前 $i-1$ 条边加入时该图不连通，再加入第 $i$ 条边后图连通。

$$E(修复时间)=\frac1{m+1}\sum_{i=1}^miP(i)$$
$$=\frac1{m+1}\sum_{i=1}^m\sum_{j=i}^mP(j)$$
接下来我们思考 $P$ 的后缀和的实际意义。
容易发现， $\sum_{j=i}^mP(j)$ 表示至少加入 $i$ 条边后图才连通的概率。
显然，这样等价于加入 $i-1$ 条边后原图不连通的概率。
所以，问题转化为：
对于每个 $i\in[0,m]$ ，求出随机选出 $i$ 条边加入后，原图不连通的概率。
看到 $n$ 的范围，可以猜出这是状压 DP ：
$f[i][S][0]$ 表示在点集 $S$ 和点集 $S$ 中的点之间的边构成的子图中，选出 $i$ 条边，不连通点集 $S$ 的方案数。
$f[i][S][1]$ 表示在点集 $S$ 和点集 $S$ 中的点之间的边构成的子图中，选出 $i$ 条边，连通点集 $S$ 的方案数。
设上面所描述的子图的边数为 $size[S]$ 。
显然：
$$f[i][S][0]+f[i][S][1]=C_{size[S]}^i$$
思路要点在转移。思路是：枚举点集 $S$ 的第一个元素 $p$ 所在的连通块（枚举 $S$ 的一个非空真子集 $S'$ ， $S'$ 必须包含 $p$ ，并将 $S'$ 作为这个连通块包含的点集），然后再枚举这个连通块包含的边数 $j$ （满足 $0\le j\le i$）。那么点集 $S'$ 和点集 $S-S'$ 之间的任何一对点都不会有连边，并且点集 $S-S'$ 之间连了剩下的 $i-j$ 条边。得出转移：
$$f[i][S][0]+=f[j][S'][1]\times C_{size[S-S']}^{i-j}$$
根据 $f[i][S][0]+f[i][S][1]=C_{size[S]}^i$ 就能求出 $f[i][S][1]$ 。
这样，
$$加入i条边后原图不连通的概率=\frac{f[i][\{1,2,...,n\}][0]}{C_m^i}$$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Subset(k, U) for (k = (U - 1) & U; k; k = (k - 1) & U)
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll; const int N = 12, M = 102, C = (1 << 10) + 5;
int n, m, Cm, orz[C], otz[C]; bool g[N][N]; ll f[M][C][2], _C[M][M]; double ans;
int main() {
    int i, j, k, h; n = read(); m = read(); For (i, 1, m) g[read()][read()] = 1;
    Cm = (1 << n) - 1; For (i, 1, Cm) {
        orz[i] = 1; while (!((i >> orz[i] - 1) & 1)) orz[i]++;
        For (j, 1, n) if ((i >> j - 1) & 1) For (k, 1, n)
            if (((i >> k - 1) & 1) && g[j][k]) otz[i]++;
    }
    For (i, 0, m) _C[i][0] = 1; For (i, 1, m) For (j, 1, i)
        _C[i][j] = _C[i - 1][j] + _C[i - 1][j - 1];
    For (i, 0, n - 1) f[0][1 << i][1] = 1;
    For (i, 0, Cm) f[0][i][0] = 1 - f[0][i][1]; For (i, 1, m) For (j, 1, Cm) {
        Subset (k, j) if ((k >> orz[j] - 1) & 1) For (h, 0, i) 
            f[i][j][0] += f[h][k][1] * _C[otz[k ^ j]][i - h];
        f[i][j][1] = _C[otz[j]][i] - f[i][j][0];
    }
    For (i, 0, m) ans += 1.0 * f[i][Cm][0] / _C[m][i];
    printf("%.6lf\n", ans / (m + 1)); return 0;
}