LeetCode | 300. Longest Increasing Subsequence Dp

Given an unsorted array of integers, find the length of longestincreasing subsequence.

For example,
Given [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],
The longest increasing subsequence is [2, 3, 7, 101],therefore the length is 4. Note that there may bemore than one LIS combination, it is only necessary for you to return thelength.

Your algorithm should run in O(n²) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n)time complexity?

Credits:
Special thanks to @pbrother foradding this problem and creating all test cases.

这一题是传统的求某个序列的最长递增子序列的题目，但是假如使用一般的DP去做的话时间或达到O(n ^ 2)，题目中说了，要求使用O(nlog(n))的时间解决题目，因此我们需要考虑一种特殊的DP方法来解决题目

定义一个数组Dp,假设数组里面有Dp[1 ~ n]的值，给定的数组为nums，Dp[1 ~ n]对应于nums[1 ~ m]的范围，Dp[i]的具体含义为，在nums[1~m]的范围取递增子序列，可以找到的所有长度为i的子序列中末尾元素最小的伪Dp[i]，

因此可以很容易的知道，len(Dp)表示nums[1 ~m]范围的最长子序列的长度，Dp[n]表示所有最长子序列中末尾的最小元素

知道了这一点之后我们可以遍历nums,动态的改变Dp，假设这个时候Dp里面有n个元素，下面分三种情况考虑

1）当nums[i] > Dp[n]的时候，最长子序列的长度加一，最长子序列长为n +1，且长度为n + 1的子序列中末尾元素最小的是nums[i]，因此Dp[n + 1] = nums[i]

2）当nums[i] < Dp[0]的时候，nums[i]比Dp里面的所有元素都要小，因此更新Dp里面长度为1的最长子序列中的末尾最小的元素，也就是Dp[0] = nums[i]

3）当Dp[0] < nums[i] < Dp[n]的时候，使用二分搜索在Dp[1 ~ n]的范围中找到一个j，使得theDp[j] >nums[i]，theDp[j – 1] <nums[i]，这个时候可以证明，nums[i]的值为长度为j的子序列中新的最小的末尾元素，也可以证明，nums[i]不会改变theDp[1 ~ j-1]和theDp[j+1 ~ n]的元素，只需要改变theDp[j]的元素

另外特别需要注意一点就是，当nums[i]和theDp[]中任何一个元素相等的时候，直接跳过这个数字，因为nums[i]不可能改变当前范围任何长度的递增子序列的最小的末尾值

该算法在最坏情况下时间复杂度为O（nlongn）

class Solution(object):
    def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        theL = len(nums)

        if theL <= 0: return 0

        theDp = [0 for i in range(theL + 1)]
        index = 0
        theDp[0] = nums[0]
        for i in range(theL):
            if nums[i] > theDp[index]:
                index += 1
                theDp[index] = nums[i]
            elif nums[i] < theDp[0]:
                theDp[0] = nums[i]
            else:
                if nums[i] == theDp[0] or nums[i] == theDp[index]: continue
                left = 0
                right = index

                while True:
                    mid = (right + left) // 2
                    if theDp[mid] == nums[i]: break
                    elif theDp[mid] < nums[i]:
                        if nums[i] < theDp[mid + 1]:
                            theDp[mid + 1] = nums[i]
                            break
                        left = mid + 1
                    else:
                        if nums[i] > theDp[mid - 1]:
                            theDp[mid] = nums[i]
                            break
                        right = mid - 1
        return index + 1

LeetCode | 300. Longest Increasing Subsequence Dp

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