问题描述：
给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。
一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）
示例 1:
输入: S = "rabbbit", T = "rabbit"输出: 3解释: 如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 "rabbit" 的方案。(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)rabbbit^^^^ ^^rabbbit^^ ^^^^rabbbit^^^ ^^^
示例 2:
输入: S = "babgbag", T = "bag"输出: 5解释: 如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 "bag" 的方案。 (上箭头符号 ^ 表示选取的字母)babgbag^^ ^babgbag^^ ^babgbag^ ^^babgbag^ ^^babgbag^^^
问题分析：
标准动态规划题目，以S = "babgbag", T = "bag"，为例，dp[i][j]表示字符串S[0:j] 中有多少个 T[0:i]，可以得到下图：
当i=2，j=6时，表示字符串 'babgbag' 中有多少个 'bag'，此时，要想知道现在有多少个'bag', 那么只需知道 j=5 时有多少个 'ba' 和已经有了多少个'bag', 接着再判断 S[j] ==T[i] 是否成立，如果成立，dp[i][j] = 'ba'的个数 + 已有'bag'的个数，dp[i][j] = 已有'bag'的个数。
所以dp方程式为：dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][i-j] * (T[i] == S[j])（dp[i][j-1]对应绿色方格，dp[i-1][i-j]对应黄色方格）。
Python3实现：
注：程序为了方便计算，dp数组多添加了一行和一列。
# @Time :2018/6/24
# @Author :LiuYinxing
# 解题思路 动态规划
class Solution:
def numDistinct(self, s, t):
m, n = len(s)+1, len(t)+1
dp = [[1]*m for _ in range(n)] # 初始化dp
for i in range(1, n): dp[i][0] = 0
for i in range(1, n): # 开始计算
for j in range(1, m):
dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]*(t[i-1] == s[j-1])
return dp[-1][-1]
if __name__ == '__main__':
S, T = 'babgbag', 'bag'
solu = Solution()
print(solu.numDistinct(S, T))dp空间压缩：
由上图可知，我们按照一列一列的计算，后一列的值只和前一列的值相关，所以，现在我们只保留一列的dp，这样就可以又2维空间压缩到1维。
Python3实现：
# @Time :2018/6/24
# @Author :LiuYinxing
# 解题思路 动态规划
class Solution:
def numDistinct(self, s, t):
m, n = len(s)+1, len(t)+1
dp = [0] * n # 初始化dp
dp[0] = 1
for j in range(1, m):
pre = dp[:] # pre 表示前一列的值
for i in range(1, n):
dp[i] = pre[i] + pre[i - 1] * (t[i - 1] == s[j - 1])
return dp[-1]
if __name__ == '__main__':
S, T = 'babgbag', 'bag'
solu = Solution()
print(solu.numDistinct(S, T))