题目大意
个数 ,求有多少个排列(每个数都不相同,即使它们值一样),满足相邻两个数相乘的积不为完全平方数。
题解
将每个
的平方因子全部除掉,剩下的数转换为一个经典问题:
有
个
,
个
……
个
,每个数都不相同,求使得相邻两个数不相同的排列有几个。
利用容斥原理,用
表示至少有
对相邻的数相同。
答案
利用分块来求出“至少有
个相邻的数相同”
用
表示前
种数分为
块,使得每一个块里面的数保证相同,并保证块与块之间没有顺序(可以理解为块总是按从小到大的排序)
这样
,表示把所有数分为
块的方案数,就保证了最多有
对相邻数不同(块与块之间),也就是最多有
对相邻数相同。
原因是
表示的块是无序的,乘以
得到它的全排列方案。
保证块与块之间无序可以这样理解:3个值相同的数(用 表示)分成两块,有这些分法
保证无序的意思就是把 看做与 是一种方案。
转移时,枚举将第
种数,分为
块
利用隔板法,把 个数分为 块
除以 表示使块无序
乘以 ,因为每个数都不相同,所以还需乘以总排列数
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
const int MAXN=305;
const int MOD=1000000007;
int pow_mod(int a,int b)
{
int ret=1;
while(b)
{
if(b&1)
ret=(1LL*ret*a)%MOD;
a=(1LL*a*a)%MOD;
b>>=1;
}
return ret;
}
int n;
map<int,int> ni;
int fac[MAXN],inv[MAXN];
int C[MAXN][MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<MAXN;i++)
fac[i]=(1LL*fac[i-1]*i)%MOD;
inv[MAXN-1]=pow_mod(fac[MAXN-1],MOD-2);
for(int i=MAXN-2;i>=1;i--)
inv[i]=(1LL*inv[i+1]*(i+1))%MOD;
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<MAXN;i++)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<MAXN;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
}
scanf("%d",&n);
for(int i=1,a;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a);
for(int p=2;1LL*p*p<=a;p++)
while(a%(p*p)==0)
a/=p*p;
ni[a]++;
}
dp[0][0]=1;
map<int,int>::iterator it=ni.begin();
int cnt=0;
for(int i=1,num=it->second;it!=ni.end();it++,i++,num+=it->second,cnt++)
for(int k=i;k<=num;k++)
for(int j=1;j<=k&&j<=it->second;j++)
dp[i][k]=(dp[i][k]+1LL*dp[i-1][k-j]*C[it->second-1][j-1]%MOD*fac[it->second]%MOD*inv[j]%MOD)%MOD;
int ans=0;
for(int k=n,flag=1;k>=1;k--,flag=-flag)
ans=(ans+MOD+1LL*flag*dp[cnt][k]*fac[k]%MOD)%MOD;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}