[联合集训6-15] 盟誓的文艺复兴 数论

若$c=2k$，$ab^c=a(b^k)^2$；若$c=2k+1$,$ab^c=(ab)(b^k)^2$。所以我们只需要考虑$c\le 3$的情况。
那么能表示成$ab^2$的很好求，就是$\sum_{a=1}^{n^{\frac{1}{3}}}\mu^2(a)(\lfloor\sqrt{\frac{n}{a}}\rfloor-a)$。现在考虑求只能被表示成$ab^3$的数的个数。
我们设$k$是满足$k^2|ab$的最大值，那么$ab^3=(ab)b^2=\frac{ab}{k^2}(bk)^2$，也就是要满足$\frac{ab}{k^2}\ge bk$即$a\ge k^3$。设$c(x)$当$x$有三次因子时为$0$，否则为$1$，那么式子就是：

$$\sum_{a^4\le n}c(a)\sum_{k^3\le a}\sum_{b=a+1}^{(\frac{n}{a})^\frac{1}{3}} [k^2|ab]\cdot \mu^2\left( \frac{ab}{k^2} \right)$$
为了处理那个整除，设 $g=\gcd(a,k^2),a'=\frac{a}{g},k'=\frac{k^2}{g},b'=\frac{b}{k'}$，式子化成：
$$\sum_{a^4\le n}c(a)\sum_{k^3\le a}\sum_{b'=\frac{a}{k'}+1}^{\frac{(\frac{n}{a})^\frac{1}{3}}{k'}} \mu^2\left(a'b' \right)$$
因为 $\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)[\gcd(a,b)=1]$，就有：
$$\sum_{a^4\le n}c(a)\sum_{k^3\le a}\mu^2(a')\sum_{b'=\frac{a}{k'}+1}^{\frac{(\frac{n}{a})^\frac{1}{3}}{k'}} \mu^2(b')[\gcd(a',b')=1]$$
其中 $[\gcd(a',b')=1]$用莫比乌斯反演弄掉就是：
$$\sum_{a^4\le n}c(a)\sum_{k^3\le a}\mu^2(a')\sum_{d|a'}\mu(d)\sum_{b'=\frac{a}{k'}+1}^{\frac{(\frac{n}{a})^\frac{1}{3}}{k'}} [d|b']\mu^2(b')$$
那么可以发现 $d\le n^{\frac{1}{4}}$，对于每个 $d$预处理其在 $n^{\frac{1}{3}}$内（因为 $b'\le n^{\frac{1}{3}}$）所有倍数 $t$的 $\mu^2(t)$的前缀和，这样复杂度大概是 $O(n^{\frac{1}{4}}\log n)$的。那么我们直接枚举 $a,k,d$，因为 $\mu^2(a')=0$，所以复杂度是 $O(n^{\frac{1}{4}}\cdot n^{\frac{1}{12}}\cdot 2^{\omega(n^\frac{1}{4})})$，其中 $\omega$表示质因子个数，但其实并没有这么满，是可以过的。
注意直接调用pow函数可能存在精度问题，调用之后左右再判一下即可。
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#define PB push_back
#define N4 17000
#define N3 440000
#define ll long long
using namespace std;
vector<int> w[N4+5];
int minp[N3+5],pri[N3+5],mu[N3+5],r[10],num;
bool c[N3+5],d[N3+5];
void getpri(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        minp[i]=i;
    mu[1]=1;    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(minp[i]==i){mu[i]=-1;pri[++num]=i;}
        for(int j=1;j<=num&&i*pri[j]<=n;j++)
        {           
            minp[i*pri[j]]=pri[j];
            if(i%pri[j]==0) {mu[i*pri[j]]=0;break;}
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

void init()
{
    memset(c,1,sizeof(d));
    for(int i=1;i<=N3;i++)
        for(int t=i,p=0,k=0;t>1;t=t/minp[t])
        {
            if(minp[t]!=p) p=minp[t],k=0;
            k++;
            c[i]&=(k<3);
        }
    for(int i=1;i<=N4;i++)
    {
        w[i].PB(0);
        for(int j=i;j<=N3;j+=i)
            w[i].PB(mu[j]*mu[j]);
        for(int j=1;j<w[i].size();j++)
            w[i][j]+=w[i][j-1]; 
    }       
}
int gcd(int x,int y)
{
    for(int t;y;t=x,x=y,y=t%y);
    return x;
}
int root(ll n,int x)
{
    int r=pow(n,1.0/x);
    for(;(ll)r*r*(x==3?r:1)<=n;r++);
    for(;(ll)r*r*(x==3?r:1)>n;r--);
    return r;
}
ll solve(ll n)
{
    ll ans=0;
    for(int a=1;(ll)a*a*a<=n;a++)
        if(mu[a]*mu[a])
        {
            int tmp=root(n/a,2)-a;
            if(tmp<=0) break;
            ans+=tmp;
        }
    for(int a=1;(ll)a*a*a*a<=n;a++)
        if(c[a])
            for(int k=1;k*k*k<=a;k++)
            {
                int g=gcd(k*k,a),a1=a/g,k1=k*k/g;
                if(mu[a1]!=0)
                {
                    int top=0;
                    for(int t=a1;t>1;t=t/minp[t]) r[top++]=minp[t];
                    for(int s=0;s<(1<<top);s++)
                    {
                        int e=1;
                        for(int i=0;i<top;i++)
                            if((s>>i)&1) e=e*r[i];
                        int L=a/k1,R=root(n/a,3)/k1;
                        if(mu[e]==0||R/e<=L/e) continue;    
                        ans+=(ll)mu[e]*(w[e][R/e]-w[e][L/e]);
                    }
                }
            }   
    return ans;     
}
int main()
{
    getpri(N3); 
    init(); 
    ll l,r,tmp;
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    printf("%lld",solve(r)-solve(l-1));
    return 0;
}