设计要求
设计要求：
1、能够从音频文件读取44100Hz采样频率的x(n)，可以通过参数设置读取的起始时间和持续时间；
2、调用MATLAB resample函数对x(n)进行抽取得到y1(m) ；
3、直接对x(n)进行抽取，得到y2(m)；
4、先卷积滤波，然后抽取得到y3(m)；
5、抽取结合多相滤波得到y4(m)；
6、分析和对比不同帧片段的y1(m), y2(m), y3(m)和y4(m)的时域和频域信息；
7、分析和对比运算效率；
8、基于多相滤波结构完成插值和分数倍采样频率变换的实现；
9、滤波效果的基于信噪比定量分析。
以上涉及的抽取因子D均为参数可任意设置，滤波器和具体实现结构需要自行设计。
设计原理
整数因子的抽取
满足关系式xD=（m）=x（mD），如果采样速率为fs，那得到的序列xD（n）的采样率为fs/D，抽取后信号不产生混叠的频率范围变为fm<fs/2D。而抽样序列的频谱如下图
图1 抽取后混叠示意图
可以看到抽取序列的频谱是原序列频谱D倍展宽后，按2π的整数倍移位并叠加而成，所以需求中当D=30，采样频率变为1470Hz，小于音频信号的最高频率，必然会发生失真。为保证抽取后不丢失信息或减少丢失信息，应在抽取前先用一个数字低通滤波器进行滤波，对应理想数字滤波器的幅度响应应满足
|HD(ejw)|= D, (|w|<π/D); 0,(π/D≤|w|≤π)
而在实际应用中，我们无法实现理想数字低通滤波器，所以我们需要利用窗函数法，自主设计FIR数字低通滤波器，使其满足对应的幅度响应，达到理想低通滤波器的效果。
整数因子插值
满足xI（m）=x（m/I）,（m=0，±I，±2I...）；0,（其他），得到频谱X（ejwI）内插后信号频谱被压缩了I倍，需要通过低通滤波器消除内插带来的镜像，滤波器满足
|HI(ejw)| = 1, (|w|<π/I); 0,(π/I≤|w|≤π)
采样率的分数倍转换
即通过D抽取和I插值结合来实现，为了保证不丢失信息，先插值再抽取，考虑到抽样与插值的处理过程均需要使用低通滤波器，所以如图分析可以将两个低通滤波器合二为一，低通截止频率取二者之间的较小值。
图2 采样率分数倍转换原理图
多项滤波结构
抽取和插值是多速率信号处理系统中的两个最基本的运算，当对运算速度要求相当高。但在抽取模型中，低通滤波器在减速之前实现的，而插值模型，低通滤波器又位于提速之后，对实时处理不利。所以，为了提高运算速率，抽取利用如图1.3的多项滤波器结构，数字滤波器位于抽取器之后，即滤波是降速后进行的，降低了处理速度的要求，提升实时处理能力。
图3 抽取的多项滤波器结构
同理，对于插值的多项滤波器结构使滤波器位于内插器前，使滤波在提速前，降低了对处理速度的要求的同时，也提高了运算精度和降低对字长的要求。
总体模块设计
获取音频数据getdata模块
本模块设计采用matlab内置的audioread函数设置采样点的方式来实现特定起始时间和结束时间的取样，然后使用自定义的get_spectrum画出音频原信号的频谱
function [y1,Fs1] = getdata(path,a,b,n)
Fs=44100;
start_=a*Fs;
end_=start_+b*Fs;
sample=[start_,end_];
[y,Fs1]=audioread(path,sample);
y1=y(:,1);
get_spectrum(y,Fs,'采样44100Hz的原信号频谱',n);
end
画频谱函数get_spectrum模块
通过fftshift函数将抽样后的频谱，搬移回零频率附近，因为抽样后的频谱会被搬移到采样频率附近，通过搬移回零频率附近能够重现原始信号的频谱
function get_spectrum(y,Fs,name,n)
N=2^nextpow2(length(y));%得到对应长度，加快fft速度
Yk=fft(y,N);
Ykshift=fftshift(Yk);%频谱搬移
f= (-N/2:N/2-1)*(Fs/N);%频率轴范围搬移到零频率为中心
figure(n);plot(f,abs(Ykshift));
title(name);
xlabel('Hz');
end使用resample函数抽取resample_D模块
采用matlab内置的resample函数进行在抽样，得到有用信号数据y1，然后通过自己写的画频谱函数模块，画出调用resample后的频谱
function y1= resample_D(y,fs2,fs,n)
disp('resample的时间');
tic
y1=resample(y,fs2,fs);
toc%计算resample抽取时间
get_spectrum(y1,fs2,'resample得到的频谱',n);
end
直接抽取direct_D模块
通过直接采用matlab里面切片的用法每隔30个点采一个值得到直接抽取的数据y2，然后使用画频谱函数得到频谱
function y1=direct_D(y,Fs2,D,n)
disp('直接抽取所需时间');
tic
y1=y(1:D:length(y));
toc %计算时间
get_spectrum(y1,Fs2,'直接抽取所得频谱',n);
end
FIR滤波器生成FIRfilter_hann模块
采用matlab内置的fir1，设计FIR滤波器，窗函数选用汉宁窗hann，此处函数传参中的归一化的截止频率变为原来的1/D，下采样因子D=30。为了满足设计指标，采用汉宁窗长度为660，然后可以通过通过freqz画出滤波器频响曲线
function b=FIRfilter_hann(N,m)
wc=1/m;%归一化频率变为原来的1/D
b=fir1(N-1,wc,hann(N));
end直接卷积滤波conv_filter模块
直接通过原音频数据y，与滤波器的单位冲激响应卷积得到限带滤波后的信号，此模块中将y与上个模块的滤波器系数卷积得到数据yf，然后通过30步长直接抽取得到数据y3，然后使用画频谱函数得到频谱
function y1= conv_filter(y,Fs2,b,D,n)
disp('直接卷积filter所需时间');
tic
yf=conv(y,b);
y1=yf(1:D:length(y));
toc
get_spectrum(y1,Fs2,'直接卷积filter所得频谱',n);
end
多相滤波（先抽取后滤波）polyphase2模块
本模块通过抽取器结构的I型变换，然后通过恒等变换实现，滤波运算在抽取之后，大大提高了运算速度以及运算精度，减少了运算累积误差，提高了实时处理信号能力，通过此多相滤波后的下采样信号y4的频谱
function bb= polyphase2(y,b,D)
y=reshape(y,1,length(y));%将列向量转换为行向量
n_b=length(b);%滤波器长度
len=floor((length(y)+D-1)/D)+round(length(b)/D)-1;
bb=zeros(1,len);
for i =1:D
y1=[zeros(1,i-1),y,zeros(1,D-i)];%延时
y2=y1(1:D:length(y1));%抽取
hd=b(i:D:n_b);
y3=conv(y2,hd);%滤波
if length(y3) >= len%累加
bb=bb+y3(1:len);
else
bb=bb+[y3,zeros(1,len-length(y3))];
end
end
bb=bb(1:ceil(length(y)/D));bb=reshape(bb,length(bb),1);
end
画时域波形get_waveform模块
通过此模块将y1，y2，y3，y4的时域波形全部利用plot函数画出来，传参需要信号的离散点起始点数，以及结束点数，得到四个数据的波形
function get_waveform(y1,y2,y3,y4,start_,end_,n)
a=start_:end_;
figure(n);
subplot(4,1,1);
plot(a,y1(start_:end_));
title('resample的时域波形');
subplot(4,1,2);
plot(a,y2(start_:end_));
title('直接抽取的时域波形');
subplot(4,1,3);
plot(a,y3(start_:end_));
title('直接卷积的时域波形');
subplot(4,1,4);
plot(a,y4(start_:end_));
title('多相滤波的时域波形');
end
抽取信噪比计算SNR_cal模块
首先需要找出四种音频信号相互之间的时延，然后进行对齐后再进行信噪比计算，计算时延使用了finddelay函数
得到时延之后首先需要对信号进行对齐，即移动11位，然后计算信噪比，代码如下
function y= SNR_cal(y1,y2,y3,y4)
y1=y1(1:length(y1)-11);y2=y2(1:length(y2)-11);
y3=y3(12:length(y3));y4=y4(12:length(y4)); %信号对齐
s=sum(y1.^2);
sigma21=sum((y2-y1).^2);
SNR2=10*log10(s/sigma21);
sigma31=sum((y3-y1).^2);
SNR3=10*log10(s/sigma31);
sigma41=sum((y4-y1).^2);
SNR4=10*log10(s/sigma41);
y=[SNR2,SNR3,SNR4];
end多相滤波插值insert_polyphase2模块
还是采用FIR滤波器设计FIRfilter_hann模块生成插值所需要的消除高频镜像滤波器，此时窗函数长度变为600
设置上采样因子I=30，与前面的抽取结构代码相似，只是把抽取换成了补零。通过理论课所学插值器结构设计insert_polyphase2子函数，利用for循环遍历，实现滤波器系数按相分类，分别运算后累加，实现变换，滤波运算后插值，使得系统运算更快，然后使用plot函数，画出了插值后通过FIR滤波器消除高频镜像后的波形如图所示，然后通过画频谱get_spectrum函数得到，插值消除高频镜像后的频谱
function yf= insert_polyphase2(y,b,I)
y=reshape(y,1,length(y));N=length(b);
ttiik=(length(y)+round(N/I)-1)*I+I-1;
yf=zeros(1,ttiik);
for i =1:I
hd=b(i:I:N);
y1=conv(hd,y);%filter
y2=zeros(1,length(y1)*I);%插值补零
y2(1:I:length(y2))=y1;
y2=[zeros(1,i-1),y2,zeros(1,I-i)];%延时
if length(y2) >= ttiik%累加
yf=yf+y2(1:ttiik);
else
yf=yf+[y2,zeros(1,ttiik-length(y2))];
end
end
yf=yf(1:I*length(y));
yf=reshape(yf,length(yf),1);% turn it into column vector
end
主函数调用联合调试
clc;
clear all;
close all;
%% 实现四种抽取、两种限带滤波、以及时域频域对比分析、信噪比分析
start_=1; end_=5; %参数设置读取的起始时间和持续时间为1-5s
[y,Fs]=getdata('audio.mp3',start_,end_,1); %1.1调用自定义函数，读取音频数据，并画出原频谱图，由start和end1控制读取时间
D=30; %抽取因子D为30
Fs2=Fs/D;
firN_d=660; %有限长滤波器截取长度660
y1=resample_D(y,Fs2,Fs,2); %调用自定义函数resample_D，实现matlab自带下采样限带滤波，并计时
y2=direct_D(y,Fs2,D,3); %1.3调用direct_D函数，直接抽取，并计时
b=FIRfilter_hann(firN_d,D); %创建hanning窗有限长滤波器
y3 = conv_filter(y,Fs2,b,D,4); %1.4先卷积滤波，然后抽取
disp('多相滤波2所需时间');
tic
y4=polyphase2(y,b,D); %1.5先多相滤波，再抽取
toc
get_spectrum(y4,Fs2,'多相滤波频谱',5);
SNR=SNR_cal(y1,y2,y3,y4);
get_waveform(y1,y2,y3,y4,1,length(y4),6);
%% 插值的实现_based on polyphase filter algorithm
I=30;
firN_i=600;
Fs3=Fs*I;
bi=FIRfilter_hann(firN_i,I);
y6=insert_polyphase2(y,bi,I);
n=1:length(y6);
get_spectrum(y6,Fs3,'多相滤波insert频谱',7);axis([-2000 2000 0 4500]);
figure(8);
plot(n,y6);title('多相滤波插值后的波形');
%% 分数倍的速率转换__based on polyphase filter algorithm
I1=35;D1=55;
firN_i1=600;firN_d1=600;
Fs4=floor(Fs*I1/D1);
bi1=FIRfilter_hann(firN_i1,I1);
bd=FIRfilter_hann(firN_d1,D1);
yi=insert_polyphase2(y,bi1,I1);
yd=polyphase2(yi,bd,D1);
figure(9);
n1=1:length(yd);
plot(n1,yd);
title('多相滤波速率变换waveform');
get_spectrum(yd,Fs4,'多相滤波速率变换的频谱',10);时域分析
四种信号的时域波形，通过肉眼可以观察出，通过了限带滤波的resample、直接卷积滤波、多相滤波的方式中时域波形相差不大，而没有通过限带滤波的直接抽取方式，时域波形明显失真较大；然后通过sound函数播放了进行30抽取后的音频发现直接抽取方式的音频有明显的混叠现象，混叠失真相对其他三种方式非常明显。
频域分析
观察得，原始信号能量频率绝大部分集中在5kHz以内，根据奈奎斯特抽样定理，信号采样率至少大于10kHz，频谱不会发生明显混叠，当信号采样率为44100/30=1470时频谱必然产生混叠现象，抽样后不能还原原始信号，音频必然会有失真。对比四种抽取后频谱可以发现，直接抽取的频谱在700Hz，400Hz附近能够观察出明显的频谱混叠现象
虽然混叠失真无法避免，但是通过前置限带滤波器，将信号频带限制在抽取后的折叠频率内，能够一定程度上减少混叠失真，通过四个频谱可以发现，通过自己设计FIR滤波器起到了较为良好的抗混叠效果。
运算效率分析
对比发现直接抽取的运算时间最短，这是符合逻辑的，因为直接抽取只是进行了简单的按步长进行抽取，而没有通过滤波运算，所以所需运算时间是最短的。然后发现直接卷积滤波的时间要远远小于多相滤波的时间，这与理论课中所学知识是不符的，因为我这里采用了多相滤波2，是滤波器I型变换后的等效结构，滤波运算是在抽取降速之后进行的，按理论来说，运算速度应该快于直接卷积滤波，这里的原因，我猜测是因为我在进行子函数polyphase2设计时，采用了for循环进行按相分类，执行for循环时，matlab只能挨着按顺序进行遍历，最后把运算结果相加，浪费掉了大量运算资源，在实际中，滤波器的多相结构各支路运算应是同时进行的，最后全部加起来。所以由于for循环的特性，导致了多相滤波运算效率大大减小，运算时间远远大于直接卷积。
信噪比指标分析
调用信噪比计算模块计算SNR2，SNR3，SNR4，三个信噪比结果分别为-0.7185dB，29.84dB，29.84dB，然后计算得到SNR3-SNR2=30.5585dB>30dB，|SNR4-SNR3|=0<1dB，满足设计指标。
通过分析可以看到，直接抽取得到的信号信噪比非常低甚至小于0，说明直接抽取信号失真较大，而通过了限带滤波器后再抽取的信号增大了约30dB，所以限带滤波器大幅提高了信号信噪比，在一定程度上减小了混叠的影响。
分数倍速率变换分析
有理论课中学到，为了避免丢失信息，应先进行插值后进行抽取，这里设置下采样因子D=55，上采样因子I=35，然后结合前面所做的polyphase2，和insert_polyphase2模块很容易得出速率变换为以前的I/D=7/11后的时域波形与频谱
此时采样率变为floor(44100*7/11) = 28063Hz通过分析对比以及结合理论知识，可以看到，时域采样率提高的同时，在频域上频谱也被进行了压缩，同时我调用sound函数播放了速率变换后的音频，发现与原音频相差并不大，这是因为原音频频谱能量绝大部分都集中于5kHz内，而变换后采样频率28063Hz远远大于2fm，根据奈奎斯特抽样定理，音频没有明显的混叠失真