class083 动态规划中用观察优化枚举的技巧-下【算法】
code1 1235. 规划兼职工作
// 规划兼职工作
// 你打算利用空闲时间来做兼职工作赚些零花钱，这里有n份兼职工作
// 每份工作预计从startTime[i]开始、endTime[i]结束，报酬为profit[i]
// 返回可以获得的最大报酬
// 注意，时间上出现重叠的 2 份工作不能同时进行
// 如果你选择的工作在时间X结束，那么你可以立刻进行在时间X开始的下一份工作
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/maximum-profit-in-job-scheduling/
利用观察单调性 + 二分搜索的方式优化枚举，最优解时间复杂度O(n*logn)
dp[i]：[0…i]的最大报酬
不需要i位置的工作：dp[i-1]
需要i位置的工作：profit[i]+dp[j]：j是结束时间不超过startTime[i]的最右的
package class083;
import java.util.Arrays;
// 规划兼职工作
// 你打算利用空闲时间来做兼职工作赚些零花钱，这里有n份兼职工作
// 每份工作预计从startTime[i]开始、endTime[i]结束，报酬为profit[i]
// 返回可以获得的最大报酬
// 注意，时间上出现重叠的 2 份工作不能同时进行
// 如果你选择的工作在时间X结束，那么你可以立刻进行在时间X开始的下一份工作
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/maximum-profit-in-job-scheduling/
public class Code01_MaximumProfitInJobScheduling {
public static int MAXN = 50001;
public static int[][] jobs = new int[MAXN][3];
public static int[] dp = new int[MAXN];
public static int jobScheduling(int[] startTime, int[] endTime, int[] profit) {
int n = startTime.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
jobs[i][0] = startTime[i];
jobs[i][1] = endTime[i];
jobs[i][2] = profit[i];
}
// 工作按照结束时间从小到大排序
Arrays.sort(jobs, 0, n, (a, b) -> a[1] - b[1]);
dp[0] = jobs[0][2];
for (int i = 1, start; i < n; i++) {
start = jobs[i][0];
dp[i] = jobs[i][2];
if (jobs[0][1] <= start) {
dp[i] += dp[find(i - 1, start)];
}
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - 1]);
}
return dp[n - 1];
}
// job[0...i]范围上，找到结束时间 <= start，最右的下标
public static int find(int i, int start) {
int ans = 0;
int l = 0;
int r = i;
int m;
while (l <= r) {
m = (l + r) / 2;
if (jobs[m][1] <= start) {
ans = m;
l = m + 1;
} else {
r = m - 1;
}
}
return ans;
}
}
code2 629. K 个逆序对数组
// K个逆序对数组
// 逆序对的定义如下：
// 对于数组nums的第i个和第j个元素
// 如果满足0<=i<j<nums.length 且 nums[i]>nums[j]，则为一个逆序对
// 给你两个整数n和k，找出所有包含从1到n的数字
// 且恰好拥有k个逆序对的不同的数组的个数
// 由于答案可能很大，只需要返回对10^9+7取余的结果
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/k-inverse-pairs-array/
最优解 利用观察 + 构造窗口累加和，已经进入 观察并设计高效的查询结构 的范畴了
只不过这个结构就仅存在于概念，并用一个int类型的变量维护而已
package class083;
// K个逆序对数组
// 逆序对的定义如下：
// 对于数组nums的第i个和第j个元素
// 如果满足0<=i<j<nums.length 且 nums[i]>nums[j]，则为一个逆序对
// 给你两个整数n和k，找出所有包含从1到n的数字
// 且恰好拥有k个逆序对的不同的数组的个数
// 由于答案可能很大，只需要返回对10^9+7取余的结果
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/k-inverse-pairs-array/
public class Code02_KInversePairsArray {
// 最普通的动态规划
// 不优化枚举
public static int kInversePairs1(int n, int k) {
int mod = 1000000007;
// dp[i][j] : 1、2、3...i这些数字，形成的排列一定要有j个逆序对，请问这样的排列有几种
int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= k; j++) {
if (i > j) {
for (int p = 0; p <= j; p++) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][p]) % mod;
}
} else {
// i <= j
for (int p = j - i + 1; p <= j; p++) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][p]) % mod;
}
}
}
}
return dp[n][k];
}
// 根据观察方法1优化枚举
// 最优解
// 其实可以进一步空间压缩
// 有兴趣的同学自己试试吧
public static int kInversePairs2(int n, int k) {
int mod = 1000000007;
int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
dp[0][0] = 1;
// window : 窗口的累加和
for (int i = 1, window; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
window = 1;
for (int j = 1; j <= k; j++) {
if (i > j) {
window = (window + dp[i - 1][j]) % mod;
} else {
// i <= j
window = ((window + dp[i - 1][j]) % mod - dp[i - 1][j - i] + mod) % mod;
}
dp[i][j] = window;
}
}
return dp[n][k];
}
}
code3 514. 自由之路
// 自由之路
// 题目描述比较多，打开链接查看
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/freedom-trail/
优化枚举的核心是贪心策略：
下一步做枚举时，不需要枚举所有可能性，只需要枚举 顺时针的最近、逆时针的最近 两种可能性即可
贪心当然会有专题讲述！【必备】课程的动态规划专题结束了，就会开始贪心的专题
package class083;
// 自由之路
// 题目描述比较多，打开链接查看
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/freedom-trail/
public class Code03_FreedomTrail {
// 为了让所有语言的同学都可以理解
// 不会使用任何java语言自带的数据结构
// 只使用最简单的数组结构
public static int MAXN = 101;
public static int MAXC = 26;
public static int[] ring = new int[MAXN];
public static int[] key = new int[MAXN];
public static int[] size = new int[MAXC];
public static int[][] where = new int[MAXC][MAXN];
public static int[][] dp = new int[MAXN][MAXN];
public static int n, m;
public static void build(String r, String k) {
for (int i = 0; i < MAXC; i++) {
size[i] = 0;
}
n = r.length();
m = k.length();
for (int i = 0, v; i < n; i++) {
v = r.charAt(i) - 'a';
where[v][size[v]++] = i;
ring[i] = v;
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
key[i] = k.charAt(i) - 'a';
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
dp[i][j] = -1;
}
}
}
public static int findRotateSteps(String r, String k) {
build(r, k);
return f(0, 0);
}
// 指针当前指着轮盘i位置的字符，要搞定key[j....]所有字符，最小代价返回
public static int f(int i, int j) {
if (j == m) {
// key长度是m
// 都搞定
return 0;
}
if (dp[i][j] != -1) {
return dp[i][j];
}
int ans;
if (ring[i] == key[j]) {
// ring b
// i
// key b
// j
ans = 1 + f(i, j + 1);
} else {
// 轮盘处在i位置，ring[i] != key[j]
// jump1 : 顺时针找到最近的key[j]字符在轮盘的什么位置
// distance1 : 从i顺时针走向jump1有多远
int jump1 = clock(i, key[j]);
int distance1 = (jump1 > i ? (jump1 - i) : (n - i + jump1));
// jump2 : 逆时针找到最近的key[j]字符在轮盘的什么位置
// distance2 : 从i逆时针走向jump2有多远
int jump2 = counterClock(i, key[j]);
int distance2 = (i > jump2 ? (i - jump2) : (i + n - jump2));
ans = Math.min(distance1 + f(jump1, j), distance2 + f(jump2, j));
}
dp[i][j] = ans;
return ans;
}
// 从i开始，顺时针找到最近的v在轮盘的什么位置
public static int clock(int i, int v) {
int l = 0;
// size[v] : 属于v这个字符的下标有几个
int r = size[v] - 1, m;
// sorted[0...size[v]-1]收集了所有的下标，并且有序
int[] sorted = where[v];
int find = -1;
// 有序数组中，找>i尽量靠左的下标
while (l <= r) {
m = (l + r) / 2;
if (sorted[m] > i) {
find = m;
r = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
// 找到了就返回
// 没找到，那i顺指针一定先走到最小的下标
return find != -1 ? sorted[find] : sorted[0];
}
public static int counterClock(int i, int v) {
int l = 0;
int r = size[v] - 1, m;
int[] sorted = where[v];
int find = -1;
// 有序数组中，找<i尽量靠右的下标
while (l <= r) {
m = (l + r) / 2;
if (sorted[m] < i) {
find = m;
l = m + 1;
} else {
r = m - 1;
}
}
// 找到了就返回
// 没找到，那i逆指针一定先走到最大的下标
return find != -1 ? sorted[find] : sorted[size[v] - 1];
}
}
code4 未排序数组中累加和小于或等于给定值的最长子数组长度
// 累加和不大于k的最长子数组
// 给定一个无序数组arr，长度为n，其中元素可能是正、负、0
// 给定一个整数k，求arr所有的子数组中累加和不大于k的最长子数组长度
// 要求时间复杂度为O(n)
// 测试链接 : https://www.nowcoder.com/practice/3473e545d6924077a4f7cbc850408ade
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过
强烈推荐先看一下讲解046
利用构造单调数组 + 二分搜索的解不是最优解，时间复杂度O(n*logn)
最优解中包含的贪心思想（窗口的加速建立、可能性的淘汰），是这个题的重点，时间复杂度O(n)
贪心当然会有专题讲述！【必备】课程的动态规划专题结束了，就会开始贪心的专题
package class083;
// 累加和不大于k的最长子数组
// 给定一个无序数组arr，长度为n，其中元素可能是正、负、0
// 给定一个整数k，求arr所有的子数组中累加和不大于k的最长子数组长度
// 要求时间复杂度为O(n)
// 测试链接 : https://www.nowcoder.com/practice/3473e545d6924077a4f7cbc850408ade
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
// 至今的最优解，全网题解几乎都是我几年前讲的方法
public class Code04_LongestSubarraySumNoMoreK {
public static int MAXN = 100001;
public static int[] nums = new int[MAXN];
public static int[] minSums = new int[MAXN];
public static int[] minSumEnds = new int[MAXN];
public static int n, k;
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);
PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {
n = (int) in.nval;
in.nextToken();
k = (int) in.nval;
for (int i = 0; i < n; i++) {
in.nextToken();
nums[i] = (int) in.nval;
}
out.println(compute2());
}
out.flush();
out.close();
br.close();
}
public static int compute1() {
int[] sums = new int[n + 1];
for (int i = 0, sum = 0; i < n; i++) {
// sum : 0...i范围上，这前i+1个数字的累加和
sum += nums[i];
// sums[i + 1] : 前i+1个，包括一个数字也没有的时候，所有前缀和中的最大值
sums[i + 1] = Math.max(sum, sums[i]);
}
int ans = 0;
for (int i = 0, sum = 0, pre, len; i < n; i++) {
sum += nums[i];
pre = find(sums, sum - k);
len = pre == -1 ? 0 : i - pre + 1;
ans = Math.max(ans, len);
}
return ans;
}
public static int find(int[] sums, int num) {
int l = 0;
int r = n;
int m = 0;
int ans = -1;
while (l <= r) {
m = (l + r) / 2;
if (sums[m] >= num) {
ans = m;
r = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
return ans;
}
public static int compute2() {
minSums[n - 1] = nums[n - 1];
minSumEnds[n - 1] = n - 1;
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
if (minSums[i + 1] < 0) {
minSums[i] = nums[i] + minSums[i + 1];
minSumEnds[i] = minSumEnds[i + 1];
} else {
minSums[i] = nums[i];
minSumEnds[i] = i;
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0, sum = 0, end = 0; i < n; i++) {
while (end < n && sum + minSums[end] <= k) {
sum += minSums[end];
end = minSumEnds[end] + 1;
}
if (end > i) {
// 如果end > i，
// 窗口范围：i...end-1，那么窗口有效
ans = Math.max(ans, end - i);
sum -= nums[i];
} else {
// 如果end == i，那么说明窗口根本没扩出来，代表窗口无效
// end来到i+1位置，然后i++了
// 继续以新的i位置做开头去扩窗口
end = i + 1;
}
}
return ans;
}
}
2023-12-10 12:31:44