[BZOJ2693]jzptab

假设$n\leq m$，并设$S_2(n)=\dfrac{n(n+1)}2$

$\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[i,j]&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\dfrac{ij}{(i,j)}\\&=\sum\limits_{d=1}^nd\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac nd\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac md\right\rfloor}ij[(i,j)=1]\\&=\sum\limits_{d=1}^nd\sum\limits_{e=1}^{\left\lfloor\frac nd\right\rfloor}\mu(e)e^2S_2\left(\left\lfloor\dfrac n{de}\right\rfloor\right)S_2\left(\left\lfloor\dfrac m{de}\right\rfloor\right)\end{align*}$

令$T=de$，答案为$\sum\limits_{T=1}^nS_2\left(\left\lfloor\dfrac nT\right\rfloor\right)S_2\left(\left\lfloor\dfrac mT\right\rfloor\right)T\sum\limits_{e|T}e\mu(e)$

$f(n)=n\sum\limits_{e|n}e\mu(e)$是积性函数，线性筛出前缀和即可

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
const int mod=100000009,T=10000000;
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
void swap(int&a,int&b){a^=b^=a^=b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int pr[T+10],f[T+10];
bool np[T+10];
void sieve(){
	int i,j,M;
	M=0;
	f[1]=1;
	for(i=2;i<=T;i++){
		if(!np[i]){
			M++;
			pr[M]=i;
			f[i]=1-i;
		}
		for(j=1;j<=M&&pr[j]*(ll)i<=T;j++){
			np[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0){
				f[i*pr[j]]=f[i];
				break;
			}
			f[i*pr[j]]=mul(f[i],1-pr[j]);
		}
	}
	for(i=1;i<=T;i++)f[i]=mul(f[i],i);
	for(i=2;i<=T;i++)(f[i]+=f[i-1])%=mod;
}
int s2(ll n){return(n+1)*n/2%mod;}
int solve(int n,int m){
	if(n>m)swap(n,m);
	int i,nex,s;
	s=0;
	for(i=1;i<=n;i=nex+1){
		nex=min(n/(n/i),m/(m/i));
		s=ad(s,mul(f[nex]-f[i-1],mul(s2(n/i),s2(m/i))));
	}
	return ad(s,mod);
}
int main(){
	sieve();
	int t,n,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%d\n",solve(n,m));
	}
}