1、手指有三个关节，分别是指尖关节、指节中关节和指根关节。
它们通常被用于描述手指的运动。这三个关节的角度范围如下：
指尖关节：也称为近端指节，位于指尖和第二个关节之间。它允许手指向前弯曲，通常的弯曲范围为0到90度。
指节中关节：也称为中间指节，位于指尖关节和指根关节之间。它允许手指向前弯曲和向后伸展，通常的弯曲范围为0到90度，伸展范围为0到45度。
指根关节：也称为近端掌指关节，位于手掌和手指之间。它允许手指向前弯曲和向后伸展，通常的弯曲范围为0到110度，伸展范围为0到30度。
需要注意的是，这些范围是估计值，实际的角度范围会受到多种因素的影响，如年龄、性别、身体状况、手指大小等。此外，每个人的手指运动能力和柔韧性也有所不同。
2、手指位置向量p、手指方向向量d、手指弯曲向量b描述手指状态
假设手指在三维空间中，可以用向量来表示手指的位置和方向。我们可以用两个向量来描述手指的状态：
手指位置向量p：表示手指的位置，它的起点是手掌的中心，终点是手指的顶端。
手指方向向量d：表示手指的方向，它的起点是手指的根部，终点是手指的顶端。
为了进一步描述手指的状态，我们可以用另外一个向量来表示手指的弯曲角度：
手指弯曲向量b：表示手指的弯曲角度，它的起点是手指的根部，终点是手指的顶端。
其中，手指弯曲向量b是一个关于手指长度的标量值，表示手指的弯曲程度。我们可以将手指弯曲向量b表示为：
b = L * (1 - cosθ)
其中，L是手指长度，θ是手指弯曲的角度。因此，手指的状态可以用三个向量来描述：
S = (p, d, b)
这个状态向量S可以提供足够的信息，描述手指在三维空间中的位置、方向和弯曲程度。
3、手指的三个关节向量加上向量的角度,可以描述手指的方向向量d和手指的弯曲向量b。
如果已知手指的三个关节向量和向量的角度，可以通过向量叉积和余弦定理等方法计算出手指方向向量d和手指弯曲向量b，从而等价描述手指的状态。
具体来说，可以使用以下步骤：
根据手指的三个关节向量计算出手指的方向向量d，通常为从第一个关节指向第三个关节的向量。
根据手指的三个关节向量和向量的角度，计算出手指的弯曲角度（可以是任意一个关节的弯曲角度，根据需要选择），记为θ。
根据弯曲角度θ和手指方向向量d，计算出手指弯曲向量b。具体来说，可以先计算出手指第二个关节的旋转矩阵R，然后将手指方向向量d绕第二个关节旋转角度θ得到弯曲向量b。
需要注意的是，手指的三个关节向量和向量的角度一般是相对于某个坐标系的，因此需要保持一致才能正确计算出手指的方向向量d和弯曲向量b。