求解器解的最优性 | cplex、gurobi和COPT求解器求解出来的一定是最优解吗？有理论证明吗？
作者： 刘兴禄，清华大学，清华-伯克利深圳学院博士在读
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之前有人在【运小筹读者2群】里问：cplex、gurobi和COPT求解器求解出来的一定是最优解吗？有理论证明什么的吗？
我给除了下面的回答，我觉得对大家会有用，因此稍加整理分享一下。
首先，对于MIP，给足求解时间，设置MIPGap的容差为0，最后得到的一定是最优解。
cplex、gurobi和COPT等求解器使用的是通用的branch and cut算法框架，该框架是精确算法框架。
一个最小化的MIP问题，其松弛问题，即线性松弛是其下界，任意一个可行解是上界。下界和上界的相对差距，就是间隙，optimality gap，简称gap，也就是求解日志最后一列。
求解MIP的分支切割算法，是将精确算法割平面算法融入到另一个精确算法：分支定界框架中。
分支定界本质上是一种分而治之的隐枚举，通过隐枚举，更新全局最优上界和全局最优下界，整个过程都可以保证最优性，通过搜索，最后达到全局最优。
割平面法用来割去小数最优解，并且收紧可行域，加速求解，逼近凸包。
最终整个框架的最优性，通过gap得到证明。gap就是当前解距离最优解的 最大可能的 相对差距。gap等于0，说明当前解一定是全局最优解。
具体理论证明，分为这么几个大的部分：以min问题为例
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一个LP，如果可行，我们是可以通过单纯形法，或者内点法求解到最优解的，最优性通过检验数等相关内容可以得到证明。具体证明见单纯形法相关内容。
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一个MIP的线性松弛是一个LP，这个LP的最优解，是MIP一个下界，这个MIP的最优解不可能比这个小。
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任意一个整数可行解，一定是MIP的一个上界。MIP的最优解一定小于等于这个可行解。
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分支定界算法，通过隐枚举，更新全局上界和下界，一定可以保证最后得到最优解。具体证明见分支定界的全局上界和下界的证明。
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割平面法，不会割去任何整数可行解。因此割平面法的使用，不会影响最优性，只是加速作用。
以上5个部分各自的证明，可以详细去看，我只是说了结论。以上5个部分，是cplex，gurobi等求解器求解MIP的算法框架branch and cut的主要内容，这每一个内容都有非常完善的理论证明以及最优性保障，综合起来，这个算法框架就是精确算法框架。如果模型有可行解，并且给足足够的求解时间，求解器100％可以保证得到最终的最优解。