适用于仿射非线性自治/非自治系统的有限时间镇定分数阶反馈控制器

此文主要介绍一种有限时间镇定分数阶控制器，针对仿射非线性自治系统和仿射非线性非自治系统分别设计了控制率。其中针对仿射非线性自治系统实现在指定时间收敛到原点；对于带有扰动切系统结构存在未知的的非自治系统也可实现在指定时间内收敛。

一、预备知识

1.1 自治系统和非自治系统

对于一个微分系统 $\dot{x}=f(x, t)$ ，如果：

（1）系统中f与t无关，或者说中不显含时间变量t，则系统 $\dot{x}=f(x)$ 称为自治系统；

（2）如果f中显含时间变量t，则系统 $\dot{x}=f(x, t)$ 称为非自治系统。

1.2 仿射非线性系统

仿射非线性系统为一种特定的非线性系统，其对控制是线性的，可表示为：

$\dot{x}(t)=f(x(t))+g(x(t)) u(t)$

当系统的输入是以 $u(t)$ 的形式出现的，则系统是仿射系统，当系统的输入是以 $u^2(t)$ 或 $\sin (u(t))$ 等形式出现，则系统是非仿射系统。

1.3 数学符号定义

$\mathbb{R}$ 表示实数集； $\mathbb{R}_{+}$ 表示正实数集； $\overline{\mathbb{R}}_{+}$ 表示非负实数集； $\mathbf{A}^{\mathrm{T}}$ 表示矩阵A的转置； $\|\cdot\|_2$ 表示向量的欧几里得范数。

$\|\cdot\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$ ： $\|u\|_{\mathcal{L}_{\infty}}=\sup _{t \geq 0}\|u(t)\|<\infty$ 。

K类函数：原点处值为0，定义域内函数连续且严格递增。

局部利普希茨，利普希茨连续：存在常数K，使得|f(a)-f(b)|<=K|a-b|，K称为f的利普希茨常数，若K<1，f称为收缩映射。要求函数在区间中不能有超过线性的增长，即限制了函数增长的速度。

有界凸集：集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。

Barbalat引理：若函数f(t)一阶连续可导，且（1）当 $t\rightarrow \infty$ 时，f(t)存在有限的极限，即 $\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=C$ （C为有限的常数）；（2） $\dot{f}(t)$ 一致连续或 $\ddot{f}(t)$ 有界。则可以得到， $t\rightarrow \infty$ 时， $\dot{f}(t) \rightarrow 0$ 。

Lyapunov-like Lemma：若标量函数 $V(x)$ 满足：（1）V(x)有下界；（2） $\dot{V}(x)$ 半负定；（3） $\dot{V}(x)$ 对时间一致连续。则可以得到， $t\rightarrow \infty$ 时， $\dot{V}(x) \rightarrow 0$ 。

二、分数阶反馈控制相关定义

全局有限时间稳定（Global Finite-Time Stability）：如果对于一个系统是全局渐进稳定的，同时对于任意状态 $x\left(t, x_0\right)$ 在有限时间内均可以到达平衡点，则称此系统为全局有限时间收敛。即，对于系统有 $\forall t \geq t_0+T_{\mathrm{f}}$ ， $x\left(t, x_0\right)=0$ ，其中， $T_{\mathrm{f}}: \mathbb{R}^n \times \overline{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_{+}$ 是稳定时间的上限。

强有限时间稳定（Strong Finite-Time Stable）：对于系统若满足以下条件，则称其为强有限时间稳定：1）系统是全局有限时间稳定的；2）存在系统稳定时间的上界 $T_{\mathrm{u}} \in \overline{\mathbb{R}}_{+}$ 。 $T_{\mathrm{u}}$ 取决于已知的系统参数α，并且可通过对给定的α提前进行评估；3）在满足设定条件下，更改系统参数α，可以任意的调整系统的稳定时间 $T_u$ ；4）对于任意给定的α，稳定时间 $T_f$ 满足 $T_{\mathrm{u}}=T_{\mathrm{f}}$ 。

弱有限时间稳定（Weak Finite-Time Stable）：对于系统若满足以下条件，称其为弱有限时间稳定：1）系统是全局有限时间稳定的；2）存在系统稳定时间的上界 $T_{\mathrm{u}} \in \overline{\mathbb{R}}_{+}$ 。 $T_{\mathrm{u}}$ 取决于已知的系统参数α，并且可通过对给定的α提前进行评估；3）在满足设定条件下，更改系统参数α，可以任意的调整系统的稳定时间 $T_u$ ；4）对于任意给定的α，稳定时间 $T_f$ 满足 $T_{\mathrm{u}} \geq T_{\mathrm{f}}$ 。

三、非线性自治系统有限时间分数阶控制器

3.1 控制器设计

设计的控制器针对带有仿射输入的非线性系统，即：

$\dot{x}(t)=\mathcal{H}(x)+\mathcal{G}(x) u(t) \quad t \in \overline{\mathbb{R}}_{+}$ （3.1）

其中， $x(t) \in \mathbb{R}$ 和 $u(t) \in \mathbb{R}$ 分别为系统状态向量和系统控制输入向量。 $\mathcal{H}(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 和 $\mathcal{G}(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为光滑映射。

定义控制器跟踪误差：

$e(t)=x_{\mathrm{d}}(t)-x(t), \quad e\left(t_0\right)=e_0$ 。（3.2）

设计分数阶控制输入：

$u_{\mathrm{fe}}(t)=\frac{1}{\mathcal{G}(x)}\left(\dot{x}_{\mathrm{d}}-\mathcal{H}(x)+\varphi_1 e+\varphi_2 e^{\frac{n}{m}}\right)$ （3.3）

其中， $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 为控制器参数。n和m为正奇数，且n<m。

假设1：此控制输入适用于已知结构的系统中，即 $\mathcal{H}(x)$ 和 $G(x)$ 是已知的光滑非线性函数。此外，跟踪的期望轨迹 $x_{\mathrm{d}}(t)$ 是已知的，且导数存在。

将公式（3.1）和公式（3.3）带入公式（3.2）求导可得：

$\begin{aligned} \dot{e} & =\dot{x}_{\mathrm{d}}-\dot{x} \\ & =\dot{x}_{\mathrm{d}}-\mathcal{H}(x)-\mathcal{G}(x) u_{\mathrm{fe}}(t) \\ & =-\varphi_1 e-\varphi_2 e^{\frac{n}{m}} \end{aligned}$

基于理论1，可得系统为强有限时间收敛。

理论1：系统在平衡点e=0是强有限时间收敛，若满足以下情形：

1） $\mathcal{W}_1(e)$ 和 $W_2(e)$ 是K类函数；

2）存在正常数 $\varphi_1$ ， $\varphi_2$ ， $n$ 和 $m$ ，且奇数n和,满足n<m；

3）存在李雅普诺夫函数 $V(e): \mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_{+}$ 满足： $\mathcal{W}_1(e) \leq V(e) \leq \mathcal{W}_2(e)$ ， $\dot{V}(e)+\varphi_1 V(e)+\varphi_2 V(e)^{\frac{n+m}{2 m}}=0$ 。

3.2 强有限时间收敛证明

令正定函数： $V(e)=e^2$ （3.4）

对V(e)求导，可得：

$\begin{aligned} & \dot{V}(e)=2 e \dot{e} \\ & =2 e\left(-\varphi_1 e-\varphi_2 e^{\frac{n}{m}}\right) \\ & =-2 \varphi_1 e^2-2 \varphi_2 e^{\frac{m+n}{m}} \end{aligned}$

整理可得：

$\begin{aligned} & \dot{V}+2 \varphi_1 e^2+2 \varphi_2 e^{\frac{m+n}{m}}=0 \\ & \dot{V}+2 \varphi_1 V+2 \varphi_2 V^{\frac{m+n}{2 m}}=0 \end{aligned}$ （3.5）

由公式(3.5)可知， $\dot{V}$ 为负定的。

为了证明在平衡点为全局强有限时间收敛，公式（3.5）可以重写为：

$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=-2 \varphi_1\left(V+\frac{\varphi_2}{\varphi_1} V^{\frac{m+n}{2 m}}\right)$

$\frac{\mathrm{d} V}{V+\frac{\varphi_2}{\varphi_1} V^{\frac{m+n}{2 m}}}=-2 \varphi_1 \mathrm{~d} t$

$\frac{V^{-\frac{m+n}{2 m}} \mathrm{~d} V}{V^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}}=-2 \varphi_1 \mathrm{~d} t$

$\frac{2 m}{m-n} \frac{\mathrm{d} V^{\frac{m-n}{2 m}}}{V^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}}=-2 \varphi_1 \mathrm{~d} t$

对两边分别求取积分可得：

$\int_{V\left(e_0\right)^{\frac{m-n}{2 m}}}^{V(e)^{\frac{m-n}{2 m}}} \frac{\mathrm{d} V^{\frac{m-n}{2 m}}}{V^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}}=-\int_0^t \frac{m-n}{m} \varphi_1 \mathrm{~d} \tau$

$\ln \frac{\left(V(e)^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}\right)}{\left(V\left(e_0\right)^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}\right)}=-\frac{m-n}{m} \varphi_1 t$

两边同时取e的指数幂，可得：

$\frac{\left(V\left(e^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}\right)\right.}{\left(V\left(e_0\right)^{\frac{m-n}{2 m}}+\frac{\varphi_2}{\varphi_1}\right.}=e^{-\frac{m-n}{m} \varphi_1 t}$

令 $\alpha=\frac{m-n}{m}$ ， $\beta=\frac{\varphi_2}{\varphi_1}$ ，变形可得

$V(e)=\left[\left(V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+\beta\right) \exp \left(-\varphi_1 \alpha t\right)-\beta\right]^{\frac{2}{\alpha}}$ （3.6）

定义稳定时间 $T_f$ 为系统由初始状态至期望状态，因此：

$\lim _{t \rightarrow T_{\mathrm{f}}} V(e)=0 \quad t \in\left[0, T_{\mathrm{f}}\right)$

根据公式(3.6)可得：

$e^{-\alpha \varphi_1 t}\left(V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+\beta\right)=\beta$

$\alpha \varphi_1 t=\ln \left(\frac{1}{\beta} V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+1\right)$

$T_{\mathrm{f}}=\frac{1}{\varphi_1 \alpha} \ln \left(\frac{1}{\beta} V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+1\right)$ （3.7）

由公式（3.4）可知李雅普诺夫函数V为正定的，由公式（3.5）可知其对应的导数为负定的，结合公式（3.7），可以推断对于任意的 $t>T_f$ ，均有：

$V(e)=0 \quad \forall t \geq T_{\mathrm{f}}$ （3.8）

通过以上证明可知，系统是全局有限时间稳定的，且收敛时间可通过 $T_{\mathrm{f}}=\frac{1}{\varphi_1 \alpha} \ln \left(\frac{1}{\beta} V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+1\right)$ 设定，在任意 $t\geq T_f$ ，均有 $V(e)=0$ 。

四、带有未知结构的非线性非自治系统有限时间分数阶控制器

4.1 控制器设计

考虑一类典型的带有仿射输入的非线性非自治系统，其可描述为：

$\dot{x}(t)=\mathcal{F}(x, t)+\mathcal{B}(x, t) u(t) \quad(t \geq 0)$ （4.1）

其中， $x(t) \in \mathbb{R}$ 和 $u(t) \in \mathbb{R}$ 分别为系统状态和控制输入。 $\mathcal{F}: \mathbb{R} \times \overline{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow D_{\mathcal{F}} \subset \mathbb{R}$ 和 $\mathcal{B}: \mathbb{R} \times \overline{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow D_{\mathcal{B}} \subset \mathbb{R}$ 为在x和t中的局部利普希茨连续， $D_{\mathcal{F}}$ 和 $D_{\mathcal{B}}$ 为有界凸集，且 $\mathcal{F}=0 \in D_{\mathcal{F}}$ ， $\mathcal{B} \leq 0 \notin D_{\mathcal{B}}$ 。定义系统的跟踪误差为：

$e(t)=x_{\mathrm{d}}-x(t), \quad e\left(t_0\right)=e_0$ （4.2）

$x_d$ 表示期望状态，控制器设计目标为使系统弱有限时间稳定，设计如下：

$u_{\mathrm{rfe}}=\frac{1}{\gamma}\left(\rho \frac{|e|}{e}+\kappa_1 e+\kappa_2 e^{\frac{p}{q}}\right)$ （4.3）

其中， $\kappa_1, \kappa_2, p, q, \gamma$ 及 $\rho$ 均为正数，奇数 $p<q$ ， $\gamma \geq\|\mathcal{B}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$ 和 $\rho \geq\|\mathcal{F}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$ 。

假设2：与3.1中的假设不同，此处假设 $\mathcal{F}(x, t)$ 和 $\mathcal{B}(x, t)$ 为部分未知的光滑非线性函数， $x_d$ 是已知恒定的参考状态量。

将（4.1）和（4.3）带入（4.2）中求导可得：

$\begin{aligned} \dot{e}(t) & =-\dot{x}(t) \\ & =-\mathcal{F}-\mathcal{B} u \\ & =-\mathcal{F}-\frac{\mathcal{B}}{\gamma}\left(\rho \frac{|e|}{e}+\kappa_1 e+\kappa_2 e^{\frac{p}{q}}\right) \end{aligned}$ （4.4）

可以推断系统是弱有限时间稳定，通过理论2。

理论2：系统平衡点 $e=0$ 是全局弱有限时间稳定，如果以下条件被满足：

1） $\mathcal{W}_1(e), \mathcal{W}_2(e)$ 和 $\mathcal{W}_3(e)$ 是K类函数；

2）存在正数 $\kappa_1, \kappa_2, p, q>0$ 和奇数p和q满足 $p<q$ ；

3）存在李雅普诺夫函数 $V(e, t): \mathbb{R} \times \overline{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_{+}$ 满足： $\mathcal{W}_1(e) \leq V(e, t) \leq \mathcal{W}_2(e)$ ， $\dot{V}+\kappa_1 V+\kappa_2 V^{\frac{p+q}{2 q}} \leq-W_3(e)$

4.2 弱有限时间稳定证明

构建正定的李雅普诺夫函数：

$V(e, t)=e^2$ （4.5）

基于柯西-施瓦茨不等式，李雅普诺夫的导数可求得：

$\begin{aligned} \dot{V} & =2 e \dot{e} \\ & =-2 \mathcal{F} e-2 \frac{\mathcal{B}}{\gamma}\left(\rho|e|+\kappa_1 e^2+\kappa_2 e^{\frac{q+p}{q}}\right) \\ & \leq 2|\mathcal{F} \| e|-2 \frac{\mathcal{B}}{\gamma}\left(\rho|e|+\kappa_1 e^2+\kappa_2 e^{\frac{q+p}{q}}\right) \end{aligned}$ （4.6）

选择一个足够大的 $\gamma$ ，以满足：

$\gamma \geq\|\mathcal{B}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$ （4.7）

基于（4.6）和（4.7）可得：

$\dot{V} \leq 2(|\mathcal{F}|-\rho)|e|-2 \kappa_1 e^2-2 \kappa_2 e^{\frac{q+p}{q}}$ （4.8）

选择 $\rho$ 满足：

$\rho \geq\|\mathcal{F}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$ （4.9）

可基于（4.8）和（4.9）进一步获得：

$\dot{V}+2 \kappa_1 e^2+2 \kappa_2 e^{\frac{q+p}{q}} \leq-2(\rho-|\mathcal{F}|)|e|$ （4.10）

其中， $(\rho-|\mathcal{F}|)|e|$ 为K类函数，公式（4.10）可写为：

$\dot{V}+2 \kappa_1 V+2 \kappa_2 V^{\frac{p+q}{2 q}} \leq-\mathcal{W}_3(e)$ （4.11）

通过公式（4.11）可以得到， $\dot{V}$ 连续且半负定。因此，可以利用Lyapunov-like Lemma，则可以得到 $\dot{V}(x) \rightarrow 0$ 。结合公式（4.8）进而得到 $t\rightarrow \infty$ 时， $e\rightarrow 0$ ，即公式（4.4）对应误差渐进稳定。

为了证明系统为全局弱有限时间稳定，构建以下函数：

$C(t)=-2 \kappa_1 V-2 \kappa_2 V^{\frac{q+p}{2 q}}-\dot{V}-\mathcal{W}_3 \geq 0$ （4.12）

整理公式（4.12）可以得到：

$\dot{V}+\mathcal{W}_3+C=-2 \kappa_1\left(V+\frac{\kappa_2}{\kappa_1} V^{\frac{q+p}{2 q}}\right)$ （4.13）

进而可以得到：

$\frac{\mathrm{d} V}{V+\frac{\kappa_2}{\kappa_1} V^{\frac{q+p}{2 q}}}=-2 \kappa_1 \mathrm{~d} t-\frac{\left(C+\mathcal{W}_3\right) \mathrm{d} t}{V+\frac{\kappa_2}{\kappa_1} V^{\frac{q+p}{2 q}}}$

$\frac{V^{-\frac{q+p}{2 q}} \mathrm{~d} V}{V^{\frac{q-p}{2 q}}+\frac{\kappa_2}{\kappa_1}}=-2 \kappa_1 \mathrm{~d} t-\frac{\left(C+\mathcal{W}_3\right) \mathrm{d} t}{V+\frac{\kappa_2}{\kappa_1} V^{\frac{q+p}{2 q}}}$

$\frac{\mathrm{d} V^{\frac{q-p}{2 q}}}{V^{\frac{q-p}{2 q}}+\frac{\kappa_2}{\kappa_1}}=-\kappa_1 \frac{q-p}{q} \mathrm{~d} t-\frac{\left(C+\mathcal{W}_3\right)(q-p) \mathrm{d} t}{2 q\left(V+\frac{\kappa_2}{\kappa_1} V^{\frac{q+p}{2 q}}\right)}$ （4.14）

令：

$\mathcal{R}(t)=\frac{\left(C+\mathcal{W}_3\right)(q-p)}{2 q\left(V+\frac{\kappa_2}{\kappa_1} V^{\frac{q+p}{2 q}}\right)} \geq 0$ ，

$\mathcal{I} \mathcal{R}(t)=\int_{t_0}^t \mathcal{R}(\tau) \mathrm{d} \tau \geq 0$ （4.15）

对于一个非自治系统，考虑系统从初始时间 $t_0$ 至其后的任意时间，则对 $t_0$ 至t积分可得：

$\int_{V\left(e_0\right)^{\frac{q-p}{2 q}}}^{V(e)^{\frac{q-p}{2 q}}} \frac{\mathrm{d} V^{\frac{q-p}{2 q}}}{V^{\frac{q-p}{2 q}}+\frac{\kappa_2}{\kappa_1}}=-\int_{t_0}^t \kappa_1 \frac{q-p}{q} \mathrm{~d} \tau-\int_{t_0}^t \mathcal{R}(\tau) \mathrm{d} \tau$

$\ln \frac{\left(V(e)^{\frac{q-p}{2 q}}+\frac{\kappa_2}{\kappa_1}\right)}{\left(V\left(e_0\right)^{\frac{q-p}{2 q}}+\frac{\kappa_2}{\kappa_1}\right)}=-\kappa_1 \frac{q-p}{q}\left(t-t_0\right)-\mathcal{I R}(t)$ （4.16）

整理上式，可得李雅普诺夫函数满足：

$V(e)=\left[\left(V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+\beta\right) \exp (-\tau(t))-\beta\right]^{\frac{2}{\alpha}}$ （4.17）

其中，

$\tau(t)=\kappa_1 \alpha\left(t-t_0\right)+\mathcal{I} \mathcal{R}(t)$ ， $\alpha=\frac{q-p}{q}$ ， $\beta=\frac{\kappa_2}{\kappa_1}$

通过令上述李雅普诺夫等式为0，可获得稳定时间 $T_f$ 为：

$T_{\mathrm{f}}=t_0+\frac{1}{\kappa_1 \alpha} \ln \left(\frac{1}{\beta} V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+1\right)-\frac{\mathcal{I} \mathcal{R}(t)}{\kappa_1 \alpha}$ （4.18）

由于 $\mathcal{I R}(t)$ 包含时间t，且 $\mathcal{I} \mathcal{R}(t) \in \overline{\mathbb{R}}_{+}$ ，则可以得到：

$\lim _{t \rightarrow T_{\mathrm{f}}} V(e)=0 \quad t \in\left[0, T_{\mathrm{f}}\right)$ ，

当时间满足： $T_{\mathrm{f}} \leq T_{\mathrm{u}}=t_0+\frac{1}{\kappa_1 \alpha} \ln \left(\frac{1}{\beta} V\left(e_0\right)^{\frac{\alpha}{2}}+1\right)$

结合公式（4.5）李雅普诺夫函数为正，公式（4.11）李雅普诺夫导数为负，公式证明完毕。

五、带有未知结构且伴有扰动的有限时间分数阶控制器

考虑系统具有未知结构和外部扰动，系统动力学方程可被总结为以下：

$\dot{x}(t)=\mathcal{F}(x, t)+\tilde{\mathcal{F}}+(\mathcal{B}(x, t)+\tilde{\mathcal{B}}) u(t)+\omega$ （5.1）

其中， $\tilde{\mathcal{F}}$ 和 $\tilde{\mathcal{B}}$ 是未知光滑函数 $\mathcal{F}(x, t)$ 和 $\mathcal{B}(x, t)$ 对应的微扰， $\omega$ 为外部环境的扰动。

理论3：系统平衡点 $e=0$ 为全局弱有限时间稳定，如果以下情况满足：

1） $\tilde{\mathcal{F}}$ 、 $\tilde{\mathcal{B}}$ 和 $\omega$ 的 $\mathcal{L}_{\infty}$ 存在且未知；

2） $W_1(e)$ ， $W_2(e)$ 和 $W_3(e)$ 为 $\mathcal{K}$ 类函数；

3）存在正数 $\kappa_1, \kappa_2, p, q>0$ 且奇数 $p$ 和 $q$ 满足 $p<q$ ;

4）存在李雅普诺夫函数 $V(e, t): \mathbb{R} \times \overline{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_{+}$ ，满足：

$W_1(e) \leq V(e, t) \leq W_2(e)$

$\dot{V}+\kappa_1 V+\kappa_2 V^{\frac{p+q}{2 q}} \leq-W_3(e)$

证明：RFEFC控制策略如公式（4.3），其中：

$\gamma \geq\|\mathcal{B}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}+\|\tilde{\mathcal{B}}\|_{\mathcal{L}_{\infty}} \geq\|\mathcal{B}+\tilde{\mathcal{B}}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$

$\rho \geq\|\mathcal{F}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}+\|\tilde{\mathcal{F}}\|_{\mathcal{L}_{\infty}}+\|\omega\|_{\mathcal{L}_{\infty}} \geq\|\mathcal{F}+\tilde{\mathcal{F}}+\omega\|_{\mathcal{L}_{\infty}}$

其余证明步骤与理论2相似。