BZOJ3717 [PA2014] Pakowanie [状态压缩][DP]

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Description

你有n个物品和m个包。物品有重量，且不可被分割；包也有各自的容量。要把所有物品装入包中，至少需要几个包？

Input

第一行两个整数n,m(1<=n<=24,1<=m<=100)，表示物品和包的数量。
第二行有n个整数 $a[1],a[2],…,a[n](1<=a[i]<=10^8)$ ，分别表示物品的重量。
第三行有m个整数 $c[1],c[2],…,c[m](1<=c[i]<=10^8)$ ，分别表示包的容量。

Output

如果能够装下，输出一个整数表示最少使用包的数目。若不能全部装下，则输出NIE。

Sample Input

4 3
4 2 10 3
11 18 9

Sample Output

解法

我最开始还在纠结为什么不用普通的背包做，因为普通的背包只有一个啊……= =

首先有一个贪心：尽可能使用容积大的背包，这样装得更多。

显然要压缩物品的数量。所以用状态 $f[s]$ 表示选定 $s$ 集合中的物品最少使用的包的数目（因此 $f$ 数组要初始化为 $MAX$ ）。但是会发现这样的状态不好推，因为不知道下一个物品应该放在哪里。所以再来一个数组 $g[s]$ 表示选定集合 $s$ 中的物品剩余的最大容积。如果下一个物品 $j$ 的容积小于这个最大容积，那么 $j$ 就和 $s$ 共用 $f[s]$ 个包；否则如果第 $f[s]+1$ 个背包能装下第 $j$ 个物品，那么j就放进这个背包里面， $j$ 与 $s$ 中的物品共同使用了 $f[s]+1$ 个包。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 16777316
using namespace std;
int A[30],B[150],f[N],g[N];
bool cmp(int a,int b){return a>b;}
int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&B[i]);
    sort(B+1,B+m+1,cmp);
    int nn=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=nn;i++)f[i]=m+1;
    for(int i=1;i<=nn;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(!(i&(1<<j)))continue;
            int k=i^(1<<j);
            if(g[k]>=A[j+1]){
                //要使得使用的背包数量最小，或者数量相同时剩余的容积尽可能大
                if(f[i]>f[k] || (f[i]==f[k] && g[i]<g[k]-A[j+1]))
                    f[i]=f[k],g[i]=g[k]-A[j+1];
            }else if(B[f[k]+1]>=A[j+1]){
                if(f[i]>f[k]+1 || (f[i]==f[k]+1 && g[i]<B[f[k]+1]-A[j+1]))
                    f[i]=f[k]+1,g[i]=B[f[k]+1]-A[j+1];
            }
        }
    }
    if(f[nn]<=m)printf("%d",f[nn]);else printf("NIE");
    return 0;
}