浅析RSA算法

1. RSA算法原理图解如下：

先对整个公私钥加解密有个认识。

2. RSA算法加密流程

RSA的加密过程可以通过一个公式来表示：

密文 = 明文^E mod N

加密过程中用到了两个数：E, N。他们是什么呢？

从上面的加密公式可以看出，加密报文只需要知道E,N便可以完成，因此只需要知道这两个数字，任何人都可以完成加密操作，因此我们将（E，N）称之为加密密钥。也就是常说的公钥。

3. RSA算法解密流程

RSA解密流程同加密流程一样简洁，可以使用下面的公式表达：

明文 = 密文^D mod N

也就是说我们求出密文的D次方，然后对N求余便可以实现报文的解密。而这里的（D,N）就是解密密钥。即经常提到的私钥。

从上面可以看出，RSA加解密的数学形式完全相同：

加密是“求E次方，然后mod N”
解密是“求D次方，然后mod N”

可以说是相当的美妙。(这里的E,D,N在数学上必须满足一定关系才行，否则无法对报文进行解密)

4. RSA算法中E,D,N的求解流程

通过上文已经知道：RSA加密是求“E次方的mod N”, 解密则是求“D次方的mod N”,这里用到了三个数：E,D,N, 他们是如何得到的呢？

RSA密钥对的生成步骤如下：

（1）求N
（2）求 Φ (Φ仅仅密钥对的生成过程中使用)
（3）求E
（4）求D

下面对求解过程做一个说明：

（1）求N

首先准备两个很大的质数 p，q ；之后计算出两个质数的乘积N ：N = p x q

一般使用随机数生成器来完成，并配合数学上的判据来确定一个数是否为质数。

（2）求欧拉函数Φ

在数论中用Φ(n)来表示变量n的欧拉函数，它表示[1, n-1]范围内那些与n互质（最大公约数为1）的正整数的个数。这里涉及两个重要定理：

定理1：如果n为质数，则Φ(n) = n-1
定理2：如果p,q为质数， n = p x q，则Φ(n) = Φ ( p) x Φ(q) = (p-1)(q-1)

在RSA算法中，我们需要计算Φ(n) 的值：

Φ(n) = (p-1)(q-1)

（3）求E

E是一个介于 (1, Φ(n) ) 之间的正整数。此外E必须与 Φ(n) 互质。

这里E也采用随机数生成器来生成，由于需要与 Φ(n) 互质，采用数据公式来快速判断是否互质(如辗转相除法)。

为什么要保证互质呢？

目的是为了保证一定存在D与E相对应。(这个也是数论中的定理)

（4）求D

D要求与E具有一一对应关系，那么具体D,E,之间有什么关系呢？

关系1：1<D<Φ(n)
关系2：D x E = 1 mod Φ(n)

只要E、D、Φ满足上述条件，那么通过（E，N）加密的报文，一定可以通过（D，N）来解密。而关系2存在的关键在于：E必须与Φ(n)互质，这便是（3）中需要满足的条件。

至此：D,E,N全部计算完毕。

5. RSA算法安全性

RSA算法的安全性来自于：大整数质因数分解的困难性。如果未来的某一天，大整数分别算法有了重大突破，那么RSA算法便不再安全。

参考资料

原文：【浅析RSA算法】