洛谷-P3203 弹飞绵羊 分块

题目

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题意

据说这道题要用一道叫做LCT的数据结构，然而我不会。。。

一排有n个弹簧装置，从第$i$个可一往后跳$k[i]$步。

• 修改：修改某个位置弹簧的弹性。
• 查询：询问从某个位置出发弹多少次就弹飞了。

题解

分块首先都要先从暴力开始想起：
我们记录从任意一个点出发，下一次能跳到哪里，这样的话我们每次询问，只需要一只沿着这条链往下走即可，显然最坏的时间复杂度是$O(n^2)$，修改的时间复杂度为$O(1)$。

优化：
让我们使用分块来进行优化，我们把一条直线上的n个弹簧进行分块，并对于每个弹簧记录两个属性：$sum[i]$和$nxtb[i]$。

其中$sum[i]$表示的含义是从$i$弹簧出发在本块内的经过的节点的个数，$nxtb[i]$表示的是从$i$弹簧出发，弹到下一块中的第一个弹簧的编号，弹飞设置为-1。

这样的话，询问的时候我们只需要下面一段代码就可以了。

int now = x;
while(x != -1){
    ans += sum[now];
    now = nxtb[now];
}

预处理的话，我们要倒着往前计算，因为前面的sum用到了后面的sum。
预处理和修改的话详情请见代码。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 200007;
#define pr(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl
int Base = 450;
int nxtb[maxn];
int val[maxn];
int sum[maxn];
int n,m,op,x,y;
inline void read(int &x){
    scanf(" %d",&x);
}
int main(){
    read(n);
    Base = (int) sqrt(n+0.5);
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        read(val[i]);
    }

    for(int i = n;i >= 1;--i){
        int j = val[i] + i;
        int bl = i / Base;
        int br = j / Base;
        if(j > n){
            nxtb[i] = -1;
            sum[i] = 1;
        }
        else if(br == bl){
            //属于同一个块
            nxtb[i] = nxtb[j];
            sum[i] = sum[j]+1;
        }
        else{
            //不属于同一个块
            nxtb[i] = j;
            sum[i] = 1;
        }
    }

    read(m);
    while(m--){
        read(op);
        if(op == 1){
            //询问
            read(x);
            x++;
            int ans = 0;
            int now = x;
            while(now != -1){
                ans += sum[now];
                now = nxtb[now];
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
        else{
            //修改
            read(x);read(y);
            x++;
            val[x] = y;
            int j = x + y;
            int bl = x / Base;
            int br = j / Base;
            if(j > n){
                sum[x] = 1;
                nxtb[x] = -1;
            }
            else if(bl == br){
                //属于用一个块
                sum[x] = sum[j] + 1;
                nxtb[x] = nxtb[j];
            }
            else{
                //不属于同一个块
                sum[x] = 1;
                nxtb[x] = j;
            }
            for(int i = x-1;i >= max(1,bl*Base);--i){
                //更新与x属于同一块的可能被x影响的弹簧。
                j = i + val[i];
                br = j / Base;
                if(br == bl){
                    sum[i] = sum[j] + 1;
                    nxtb[i] = nxtb[j];
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}