历年CSP-J初赛真题解析 | 2021年CSP-J初赛阅读程序（28-33）

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#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 100000;
const int N = n + 1;

int m;
int a[N], b[N], c[N], d[N];  //a[N]标记一个数是不是质数，b[N]用来存质数，c[N]用来存最小质因数的个数，d[N]=p^0+p^1+p^2+...+p^num，p指最大质因子
int f[N], g[N];  //f[N]用来存约数个数，g[N]用来存所有约数之和

void init()
{
    f[1] = g[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n; i++) {  //枚举i
        if (!a[i]) { 
            b[m++] = i;  //使用数组b存放地i个质数
            c[i] = 1, f[i] = 2;
            d[i] = 1, g[i] = i + 1;
        }
        for (int j=0; j<m&&b[j]*i<=n; j++) { 
            int k = b[j];  //k为当前的质数
            a[i*k] = 1;  //标记质数k的i倍为合数
            if (i%k==0) {  //遇到i的最小质因数就停止枚举
                c[i*k] = c[i] + 1;  
                f[i*k] = f[i] / c[i*k] * (c[i*k]+1);
                d[i*k] = d[i];
                g[i*k] = g[i] * k + d[i];
                break;
            }
            else {
                c[i*k] = 1;
                f[i*k] = 2 * f[i];
                d[i*k] = g[i];
                g[i*k] = g[i] * (k+1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();

    int x;
    cin >> x;
    cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl;
    return 0;
}

假设输入的x是不超过1000的自然数，完成下面的判断题和单选题：

28、若输入不为“1”，把第13行删去不会影响输出的结果。（）

【答案】：对

【解析】

13行对1进行预处理，枚举是从2开始，全程没有与1相关的数据输出，如果输入从2开始，就没有影响

29、第25行的“f[i]/c[i*k]”可能存在无法整除而向下取整的情况。（）

【答案】：错

【解析】

f[i]表示i的质因数个数，c[i*k]表示i*k的最小质因数个数，f[i]=(num1+1)*(num2+1)*...*(numn+1)，其中numx为质因数，c[i*k]=c[i]+1（见代码）=num1+1，这两个数之间一定是倍数的关系

30、在执行完init() 后，f数组不是单调递增的，但g数组是单调递增的。（）

【答案】：错

【解析】

约数和不一定是单调递增，如g[8]=1+2+4+8=15，g[9]=1+3+9=13

31、init函数的时间复杂度为（）

A.O(n)

B.O(nlogn)

C.O(n*n^(1/2))

D.O(n^2)

【答案】：A

【解析】

欧拉线性筛的特点

32、在执行完init() 后，f[1] ，f[2] ，f[3] ...... f[100] 中有（）个等于2。

A.23

B.24

C.25

D.26

【答案】：C

【解析】

只有质数的约数个数为2，所以也就是求1-100中有多少个质数，有25个，选C

33、当输入为“1000”时，输出为（）。

A.“15 1340”

B.“15 2340”

C.“16 2340”

D.“16 1340”

【答案】：C

【解析】

1000=2^3+5^3，约数个数=(3+1)*(3+1)=16。有1000和500两个约数，肯定超过1340，所以选C

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