UOJ#211. 【UER #6】逃跑

谢谢栋栋教我这题qaq

因为完全按照他的方法做的所以题解和他的可能会长得很像qaq

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先画一下柿子
$ans=E×all=all\sum(a_i-ave)^2=all\sum(a_i^2-2a_i×ave+ave^2)$
$ave=\dfrac{\sum ai}{all}$

$$ans=all\sum a_i^2-(\sum a_i)^2$$

我们设$w=w1+w2+w3+w4$，$d=\sum a_i$，$d_2=\sum a_i^2$
则$ans=all×d_2-d^2$，其中$all=w^n$，考虑怎么求$d,d_2$

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我们将四个方向看作四个向量，一开始在(0,0)，走到(x,y)相当于向量和为(x,y)
以下将 “ 不存在一个$j(j>0)$满足前$j$个向量和为$(x,y)$ ” 简称为不存在前缀$(x,y)$，后缀同理

设$W[i][x][y]$表示走了$i$步，走到$(x,y)$的方案数
设$g[i]$表示走了$i$步，不存在前缀$(0,0)$的方案数（同时也是不存在后缀$(0,0)$的方案数）
$g[i]=w^i-\sum_jW[j][0][0]×g[i-j]$

那么$d$就很容易计算了，我们分开考虑每个格子的贡献，有
$d=\sum_ig[i]×w^{n-i}$

对于$d_2$，我们考虑像管道取珠那样转化平方贡献的方法计算他

设$R[i][x][y]$表示走了$i$步，和为$(x,y)$，不存在前缀$(0,0)$
有$R[i][x][y]=W[i][x][y]-\sum_jW[j][0][0]×R[i-j][x][y]$

设$S[i][x][y]$表示走了$i$步，和为$(0,0)$，存在前缀$(x,y)$
有$S[i][x][y]=\sum_jW[j][x][y]×R[i-j][-x][-y]$

设$F[i][x][y]$表示
对于所有长度为$i$的向量序列，其前$j(j<i)$个向量和为$(a,b)$，后$i-j$个向量和为$(x,y)$
且第$j$步第一次到达$(a,b)$（不存在后缀$(0,0)$），第$i$步第一次到达$(a+x,b+y)$
这样的$j$的个数之和

其实就是将一条路径覆盖的$a_i$个格子，按照第一次到达的顺序排序后，从左到右取出每个格子和后面的所有格子匹配贡献到$a_i^2$里，最后要乘2算上倒序的匹配，再加上$a_i$表示自己和自己匹配

$F[i][x][y]$的dp式分三部分

$F[i][x][y]+=\sum_jg[j]×W[i-j][x][y]$
因为$g[j]$也能表示不存在后缀$(0,0)$即第一次到达某个点$(a,b)$，然后剩下$i-j$步和为$(x,y)$，所有合法方案他一定能算进去，考虑他会算到哪些不合法的方案
会算到不合法主要是因为我们不能保证第$i$步时第一次到达$(a+x,b+y)$，他可能在第$j$步前就到达过，或者在第$j$步后第$i$步前到达过

$F[i][x][y]-=\sum_jg[j]×S[i-j][-x][-y]$
这里减去的是第$j$步前到达$(a+x,b+y)$后走回$(a,b)$再回到$(a+x,b+y)$的方案，但他还会减去第一次到$(a,b)$后到$(a+x,b+y)$再绕回$(a,b)$最后又回到$(a+x,b+y)$的方案，因为我们第一部分并不会算入这种情况，我们要在第三部分把这些方案加回来

$F[i][x][y]-=\sum_jF[j][x][y]×(W[i-j][0][0]-S[i-j][-x][-y])$
这里的$S[i-j][-x][-y]$就是我们在第二部分多减的东西

然后$d_2=(\sum_{i,x,y}F[i][x][y]×w^{n-i})×2+d$

然后这题就做完啦（撒花）

code：

#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define W(i,x,y) W[x+base][y+base][i]
#define R(i,x,y) R[x+base][y+base][i]
#define S(i,x,y) S[x+base][y+base][i]
#define F(i,x,y) F[x+base][y+base][i]
using namespace std;

const int maxn = 210;
const int mod = 998244353;
const int dx[]={-1,0,1,0};
const int dy[]={0,1,0,-1};
const int base = 105;
inline void add(int &a,const int &b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
inline void dec(int &a,const int &b){a-=b;if(a<0)a+=mod;}

int n,w[4],pw[maxn];
int W[maxn][maxn][maxn],g[maxn],R[maxn][maxn][maxn],S[maxn][maxn][maxn],F[maxn][maxn][maxn];

int main()
{
    //freopen("tmp.in","r",stdin);
    //freopen("tmp.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d%d%d",&w[0],&w[2],&w[1],&w[3]);
    pw[0]=1,pw[1]=w[0]+w[1]+w[2]+w[3]; for(int i=2;i<=n;i++) pw[i]=(ll)pw[i-1]*pw[1]%mod;

    W(0,0,0)=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int x=-i;x<=i;x++) for(int y=-i+abs(x);y<=i-abs(x);y++)
            for(int k=0;k<4;k++) add(W(i,x,y),(ll)W(i-1,x+dx[k],y+dy[k])*w[(k+2)&3]%mod);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        g[i]=pw[i];
        for(int j=1;j<=i;j++) dec(g[i],(ll)W(j,0,0)*g[i-j]%mod);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        for(int x=-i;x<=i;x++) for(int y=-i+abs(x);y<=i-abs(x);y++)
        {
            R(i,x,y)=W(i,x,y);
            for(int j=1;j<i;j++) dec(R(i,x,y),(ll)W(j,0,0)*R(i-j,x,y)%mod);
        }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        for(int x=-i;x<=i;x++) for(int y=-i+abs(x);y<=i-abs(x);y++)
        {
            for(int j=1;j<i;j++) add(S(i,x,y),(ll)W(j,x,y)*R(i-j,-x,-y)%mod);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int x=-i;x<=i;x++) for(int y=-i+abs(x);y<=i-abs(x);y++)
        {
            for(int j=0;j<i;j++) add(F(i,x,y),(ll)g[j]*W(i-j,x,y)%mod);
            for(int j=0;j<i;j++) dec(F(i,x,y),(ll)g[j]*S(i-j,-x,-y)%mod);
            for(int j=0;j<i;j++) dec(F(i,x,y),(ll)F(j,x,y)*((W(i-j,0,0)-S(i-j,-x,-y)+mod)%mod)%mod);
        }
    }
    int d=0,d2=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) add(d,(ll)g[i]*pw[n-i]%mod);
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        for(int x=-i;x<=i;x++) for(int y=-i+abs(x);y<=i-abs(x);y++) if(x||y)
            add(d2,(ll)F(i,x,y)*pw[n-i]%mod);
    }
    add(d2,d2);
    add(d2,d);
    int ans=(ll)d2*pw[n]%mod; dec(ans,(ll)d*d%mod);
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}