主讲人：张文俊（深圳大学）
参考教材：《数学文化赏析》
目录（此笔记是基于完整版笔记进行提取的精华版本，适合作题或备考使用，例题均来自每节的课后习题或大作业）
5、庞加莱猜想(佩雷尔曼于2006年证明，目前七大难题中唯一解决的难题)
6、黎曼猜想：“素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙而精确的模式出现。”（尚未解决，与素数相关）
一、关于数学本质(对象、特点、美的特点、功能、文化……)
1、关于数学的描述
数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学
数学是研究模式与秩序的科学
数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括数学的对象是万物之本、数学方法与结论的可靠性
2、数学研究对象：数与形
数与形是数学科学的两大柱石
数与形是万物共性和本质
数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系
3、数学特点：概念的抽象性、推理的严密性、结论的确定性、应用的广泛性
4、数学关注的内容：
一种对象的内在性质
不同对象的联系
多种对象的共性
一组对象的变化规律
5、数学中概念或定义的形成主要是分类、抓本质、抓共性的结果
6、数学功能：实用、教育、语言（用方程描述社会现象、用符号表示数和运算）、文化
数学语言三大特点：简单化（表达简洁、清晰）、清晰化（不会产生歧义）、扩展化（内涵丰富）
7、数学文化（把数学看做一种文化，原因在于）：
①是人类创造并且传承下来的知识、方法、思想
②深入到社会的每个角落
③影响着人类的思想，推动着科技发展和社会进步，与其他文化关系密切
数学文化内涵：知识性成分（数学知识）、观念性成分（数学观念系统）
8、数学思维：
抽象性（发现本质、共性）
创造性（发散性思维）
逻辑性（演绎推理，精细严谨）
模式化（本质共性→建立模型）
9、数学与科学
①数学素质与科学素质
科学素质是人类发展生产力、创造物质财富的基础
科学素质的核心是数学素质
科学素质追求真
数学素质的内涵：数学意识、数学语言、数学技能、数学思维
②数学与科技发展
数学是科学的语言
数学是科学之母
数学是科学之仆
数学孕育科学，也推动科学
10、数学学科发展的因素：实用、科学、哲学、美学
11、公理系统：
公理之间应该相容；
公理之间应该独立；
公理是数学理论正确性的前提。
例题：
12、数学美
（1）简洁之美：关注本质、共性→证明方法、表达形式、理论体系结构简单性
（2）和谐之美：关注共性、规律、联系
（3）奇异之美
二、数学历史（历史和分类）
1、数学历史
（1）初等数学和古代数学（16世纪以前）：
特点：常量数学
（2）变量数学（17-19世纪初）
①17世纪，法国笛卡尔建立解析几何（起点）
②牛顿和莱布尼兹建立微积分（标志）
特点：数形结合，可以研究运动，从逻辑到代数
（3）近代数学（19世纪）：第二次数学危机
分析严密化：极限理论
代数抽象化：解的存在性、个数、结构问题→阿贝尔：五次代数方程通用的求根公式是不存在的→伽罗瓦群论
几何非欧化
例题：
（4）现代数学（20世纪）
随机数学：概率论和数理统计
例题：
2、分支发展
（1）几何学
向量几何：将代数与几何结合得最真切
（2）代数学
初等代数学：研究实数、复数，中心问题→解的存在性、个数、结构问题
高等代数学：
线性代数：方程未知量增加，次数保持一致→矩阵、行列式、向量……
多项式代数：未知量个数不多，次数很多→方程论
任何多项式方程在复数范围内都有解
五次及五次以上的多项式方程在复数范围内没有求根公式
（3）微积分
（4）随机数学与模糊数学
随机数学：概率论和数理统计
例题：
三、推理
1、发散性思维（合情推理）：基于感性、感情、感觉→不能保证结论的正确性
（1）归纳（个体认识群体；从特殊到一般、具有创新性）
（2）类比（一个个体认识另一个个体）
（3）关联、辐射、迁移、空间想象、联想等
2、收敛性思维（演绎推理）：一般到特殊→必然性、正确性
①三段论、有限穷举法、数学归纳法、反证法（间接证明法）等演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系。
②演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地
③演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限
④数学理论的建立，以自明的事实为基础，以演绎推理为保障，这说明：
数学理论是主观与客观的统一
演绎推理是数学结论确立的主要手段
数学理论的出发点是公理系统
3、存在性问题证明：构造性证明（具体构造出所述对象）、纯理性证明（理论上推导出对象的存在性）
例题1：由于实践是检验真理的唯一标准，所以一个数学对象是否存在只能通过构造和检验来证明。（错误）
例题2：
四、数学游戏/魔术（取石子、报数、扑克牌、二进制）
1、取石子：
（1）若干堆石子，双方轮流取石子，每次只能取1-3颗石子，以取到最后一颗石子为胜
一堆：留下 4的倍数 颗（若30颗→先手取两颗石子）
两堆：剩下一堆是4的倍数颗→被四除余数相同
任意堆：化归
（2）若干堆石子，双方轮流取石子，每次可以取任意颗，以取到最后一颗石子为胜
一堆：一次取完
两堆：保证两堆石子数相同
三堆：
至少有两堆石子数量相同：
先手将剩下的一堆不同数量的石子取完，留给对方两堆相同的石子。
三堆石子互不相同（m>n>k）：留给对方1、2、3个石子的局面即可锁定胜局
→留给对方（1,2m，2m+1）为赢局。
（3）取石子赢局特征
二进制→偶型残局一定是赢局（相加结果的各位数都是偶数，不做进位处理）
例：留下三堆，分别有4、9、13颗 → 相加结果各位全为0/2，赢！
| 4 | 0 1 0 0 |
| 9 | 1 0 0 1 |
| 13 | 1 1 0 1 |
| 和 | 2 2 0 2 |
原因：
a、偶型残局取子后一定变为奇型残局；
b、任何奇型残局，一定有一种取法，使之取子后变为偶型残局。
例题：
2、躲三十：甲乙双方约定从1开始，轮流报数
（1）限制：每轮数1-3个数 胜负：数到某个数为输 目的：必胜
后手，根据先手数的数量再决定自己数的数量
（2）限制：每轮数1-2个数 胜负：数到某个数为赢 目的：必胜
先手，先数一个数
例题：
解析：要数到100，那么就需要对手数到98、99，那么自己就必须先数到97，以此类推必须先数到94、91……，最后就必须先手数一个数
3、序与数
（1）鸽笼原理：五张牌一定有两张同花色→取出一张，另一张放在首位
（2）剩下三张→1 ~ 6
| 大中小 |
6 |
| 大小中 | 5 |
| 中大小 | 4 |
| 中小大 | 3 |
| 小大中 | 2 |
| 小中大 | 1 |
例题1：三张牌草花5，黑桃7，方块K，摆出一个数字4 → 中大小 → 7 K 5
例题2：五张牌分别是方片5，黑桃7，方块K，红桃2，草花Q，他应该把哪张牌交给甲方？如何摆出剩下的四张牌？
→第一张相同花色而且相差不超过六→给方片5
→剩下三张摆出五→大小中→ Q 2 7
4、二进制魔术：右往左 存在与否→1/0
例题1：在二进制猜数游戏里，如果一个数仅在表1、3、5中出现，这个数为
→ 10101 → 2^4 + 2^2 + 2^0 = 16 + 4 +1 = 21
例题2：在二进制猜数游戏里，数13都在哪些表格中出现？→ 1101 →（右到左）表 1、3、4
五、数学之辩（对称性、欧拉公式、不定点、抽屉原理）
1、动中有静
（1）三角形
欧拉线：垂心、内心、外心
一个三角形的形状及大小可以由 三条边 / 两边及夹角 / 一边及两侧角
（2）对称性：
图形在某种运动或变换下保持不变的性质
代表着某种和谐、稳定与均衡
是数学美的一种重要特征
（3）不动点定理→任何一张准确绘制的中国地图，把它放在中国某一块地面上，一定有一个点正好与该点所代表的实际位置一致
（4）欧拉公式：任何空间多面体，其顶点数 v，连接顶点的线段数 e ，与面数 f 的关系为
f - e + v =2（面数 - 棱数 + 顶点数 = 2）
例题：
2、乱中有序
随机现象的统计规律
3、情中有理
（1）蜂窝建造：密铺、材料量、最大面积→正六边形
如果用同一种标准的正多边形铺设地板，正三角形、正方形、正六边形都适合使用
（2）抽屉原理：生日（人数超过23人，同一天生日超过50%）、一个聚会当中，一定有两个人在场的朋友数量相同
例题：深圳大学2016年在广东省第一批录取理工类新生2103人，录取最低分为563，最高分为662（分数全部为整数），则必定至少有（ ）个人，他们的分数是相同的。
→ 662 - 563 = 99 → 2103 ÷ 99 ≈ 21 ……24
六、斐波那契数列
1、数字猜心术：a（n+1）=an*1.618
如果某一数列按照一项为前两项和的规律构造，下一项就可以用这种方法算出来
2、斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233...
自然现象：海螺、向日葵螺旋线
例：爬楼梯
本质：遗传规律，其后代由前两代决定
3、性质
（1）和：从第三项开始，每一项都是前两项之和
（2）差：an+2 - an+1 = an
（3）积：任何相邻两项之积等于该较小项及其各项平方和
（4）积：任何相隔两项之积等于其中间数的平方±1
an-1*an+1=an^2+(-1)^n
（5）任何间隔奇数个项的两项之积等于其中间数的平方±1
（6）商：任何相邻前后两项之商趋于一个稳定的数值 0.618 → 任何相邻后前两项之商趋于一个稳定的数值 1.618
（7）余数规律：各项被某数除的余数是周期的，每有限项一循环（包括任何以递归的形式生成的数列）
（8）前n项和：a1+a2+......+an = an+2 - 1 = an+2 - a2
（9）任意相邻十项之和：十项后第二个减去十项内第二个数字
七、自然常数e：2.718281828459045
1、最大复利问题
假定活期存款年利率为100%→ 1元→2元
半年将存款取出，再存进银行→ 1元→1.5元→1.5+1.5*50%=2.25元
按季度取出，再存入→ 1.25^4≈2.44元
→如果一年分n期利息，则每期利率为1/n，存款1元，年底本息和为（1+1/n）*n元
→不断随n增大，逼近一个无限超越数→e≈2.72
2、指数函数
3、素数分布规律
4、单位圆周上的复数：欧拉公式
5、正态分布曲线
七、数系
1、数系分类
（1）自然数N：数量、规模、顺序
（2）整数Z
（3）分数（有理数Q）：分配
（4）负数：欠账
（5）无理数：无限不循环小数，承认在公元前4世纪（数学发展史里程碑）→观察、测量、实验、演算、经验不可靠，推理才可靠
（6）实数R：正数、负数、有理数、无理数→实际意义，没有缝隙的连续系统
（7）复数C：复数系是保持四则运算基本性质的最大数系
高斯：1799年→复数几何表示
1831年→复数表示平面上的点（飞跃）→平面向量→计算
→复数是平面的灵魂
例题：
（8）四元数：有序四元实数组可以组成一个数系，乘法不可交换→四元数域
例题：三维空间中的点也可以看作数，可以定义加减乘除四则运算，并保持实数、复数的运算规律。（错误）
（9）八元数（超复数）：乘法不可交换，也不能结合
（10）代数数：实数中，整系数代数多项式的根，其中有理数是整系数一次多项式的根（所有有理数都是代数数）
（11）超越数：实数中不是代数数的数，例如pi、e。（无理数有可能是代数数，也可能是超越数）
圆周率：无理数（不是任何整系数多项式的根、不可以表示为分数）、超越数、可以计算椭圆的面积、可以通过所有自然数、所有奇数表达出来
逆运算：自然数→负数→整数；整数→除法→分数→有理数；自然数→开方→无理数→实数；负数→开方→虚数
2、有理数集（最小的数域）：有限小数、无限循环小数
（1）代数：封闭，构成一个数域（对开方运算、极限运算不封闭）
数域：四则运算封闭，加法乘法满足结合律和交换律、乘法对加法满足分配律
（2）几何：在数轴上稠密（依然有缝隙）
（3）集合：
如果集合A、B的元素之间可以建立一一对应，则认为A、B元素一样多
如果A和B的某子集的元素之间可以建立一一对应，则认为A的元素不多于B的元素
①多少：有理数集是可数集
所有的正整数和正偶数一样多，所有的正整数和平方数一样多
像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫作可数集
②有理数长度为0
3、实数集：有理数、无理数（无限不循环小数）
（1）代数：封闭（是一个数域）
（2）几何：在数轴上连续、无缝（极限运算封闭→微积分学得以建立基础）
（3）几何：不可数集→不能与自然数建立一一对应
4、无限集合的基数א（以下把א写成N）
基数：描述一个集合A中包含元素个数多少的量叫做这个集合的基数
（1）可数集基数N0的运算性质：
N0+n=N0
N0+N0=N0，nN0=N0
N0*N0=N0，（N0）^n=N0
（2）代数数集是可数集→超越数不可数
（3）实数集是不可数的，基为N1（连续统基数）→无理数不可数
运算性质：N1+n+N0=N1
N1+N1=N1，nN1=N1
N0*N1=N1， N1^n=N1
（4）超越数：刘维尔数、e、π、光速、万有引力常数……
5、认识超穷数（N0和N1）
（1）幂集的基数：集合M的幂集→集合M的所有子集构成的集合P（M）
（2）Cantor定理（没有最大基数）
实数集是有理数集的幂集→N1=2^N0
N0：所有整数和有理数的数目
N1：线、面、立体上所有几何点的数目 N1=2^N0
N2：所有几何曲线的数目 N2=2^N1
6、连续统假设：有没有介于N0和N1之间的其他基数？
→没有
哥德尔、科恩：有也行，没有也行
八、三种几何和三角形（勾股定理）
1、欧几里得几何
（1）泰勒斯：数学史上第一个提供几何证明的人
（2）毕达哥拉斯：勾股定理
（3）欧几里得：筛选定理、选择公理、合理编排内容、精心组织方法→奠定数学公理化思想
①五条一般公理
（a,b,c,d 皆为正数）
a、跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。
b、等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。
c、等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。
d、完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。
e、全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。
②五条几何公理
a、过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
b、线段(有限直线)可以任意地延长。
c、以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
d、凡是直角都相等(角公理)。
e、两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线则会在该侧相交。
2、非欧几何（罗巴切夫斯基几何+黎曼几何）：推翻第五公设
（1）高斯：1792年开始思考第五公设问题（鲍耶）
（2）罗巴切夫斯基：“过直线外一点可以作两条直线与之不相交”代替第五公理（非欧几何诞生日：1826年2月11日）
（3）黎曼：包罗罗巴切夫斯基几何（曲率为负常数）和欧几里得几何（曲率恒等于0）、狭义黎曼几何（曲率为正常数）
3、三种几何对比
（1）欧几里得几何：日常小范围内、平面、三角形内角和180°
（2）罗巴切夫斯基几何：太空中漫游或原子核世界、三种模型（庞斯莱、伪球面、庞加莱、克莱因）、三角形内角和小于180°、三角形面积大
（3）黎曼几何：地球上远距离旅行、球面、三角形内角和大于180°、三角形面积小
例题：不论在欧氏几何中还是在非欧几何中，三角形面积都可以由其三边长确定。（错误）
4、三角形相关
（1）三角形内角和：陈省身→N边形外角和360°→强调不变性、不变量
（2）勾股定理
①在边长是整数的直角三角形中：勾股中必定有一个数是3的倍数，勾股中必定有一个数是4的倍数，勾股弦中必定有一个数是5的倍数
②不存在勾股同时是奇数，而弦为偶数的组合
③弦与勾股中某一数之和、差均为完全平方数
④弦与勾股中某一数之算术平均为完全平方数
*勾股数趣谈
①除了1和2之外，任何一个自然数都可以作为整数边长直角三角形的一个直角边边长
②一个直角边和斜边为连续整数
③两个直角边为连续整数
例题1：
例题2：
例题3：
九、数论、密码（RSA）
1、RSA编码方法：对极大整数做因数分解的难度决定了 RSA 算法的可靠性
（1）p、q→N=p*q
（2）较小的数n，使得n与（p-1）、（q-1）均互素
（3）m→mn-1是（p-1）（q-1）的倍数→mn = k（p-1）（q-1）+1
可公开：N、n
加密传输过程（欧拉定理）：
（1）明文x→ x的n次方/N 所得的余数→密文y
（2）密文y→ y的m次方/N 所得的余数→明文x
例：p = 3 q = 11 p - 1 = 2 q - 1 = 10
A、N = 33，选择n = 7→公开密钥
B、mn - 1 = 7m - 1
= k*2*10 = 20k
→m = (20k + 1) / 7
C、取k = 1，则m = 3
十、数学难题
1、古代三大数学难题（19世纪使用代数方法证明全部不可能）
限定：无刻度直尺、圆规、有限步数
（1）化圆为方
（2）倍立方体
（3）三等分角
2、费马猜想（已解决）
费马猜想：当整数n>2时，关于x^n+y^n=z^n没有正整数解。（1637年左右）
欧拉证明了当n=3的时候，费马猜想是成立的，发表在《代数指南》中，方法是“无限下降法”
例题：在n = 3,4时，费马猜想可以用费马创立的“无穷递降法”的思想来证明；（正确）
3、哥德巴赫猜想（尚未解决，与素数相关）
哥德巴赫猜想：任意一个大于5的整数都可以写成三个质数之和
常用的说法：任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和
把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
例题1：哥德巴赫猜想是关于偶数的分拆表示问题，现在还没有得到证明；（正确）
例题2：与素数有关的问题：哥德巴赫猜想、黎曼猜想
4、四色猜想
已经被计算机解决
近代三大数学难题：费马猜想、哥德巴赫猜想、四色猜想
5、庞加莱猜想(佩雷尔曼于2006年证明，目前七大难题中唯一解决的难题)
庞加莱猜想内容：
（1）二维平面：一条封闭的曲线（包括无限长的直线、无穷远点），不论它有多复杂，都在某种意义下等同于一个圆周。
（2）曲面：一个封闭的无洞的曲面，包括无限大的平面、无穷远点，不论它有多复杂，都在某种意义下等同于一个球面。
（3）1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：
“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
例题：庞加莱猜想是几何问题，但最终是用代数方法解决的。（错误）
6、黎曼猜想：“素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙而精确的模式出现。”（尚未解决，与素数相关）
→黎曼函数
