说明

Google Ceres 是一个广泛使用的最小二乘问题求解库。在 Ceres 中，只需按照一定步骤定义待解的优化问题，然后交给求解器计算即可。

步骤

定义每个参数块。
参数块通常为平凡的向量，但是在 SLAM 里也可以定义成四元数、李代数这种特殊的结构。如果是向量，那么需要为每个参数块分配一个 double 数组，来存储变量的值。
定义残差块的计算方式。
残差块通常关联若干个参数块，对它们进行一些自定义的计算，然后返回残差值。Ceres 对它们求平方和之后，作为目标函数的值。
残差块往往也需要定义雅可比的计算方式。
在 Ceres 中，你可以使用它提供的“自动求导”功能，也可以手动指定雅可比的计算过程。如果要使用自动求导，那么残差块需要按照特定的写法来书写：残差的计算过程应该是一个带模板的括号运算符。
把所有的参数块和残差块加入 Ceres 定义的 Problem 对象中，调用 Solve 函数求解即可。
求解之前，可以传入一些配置信息，例如迭代次数、终止条件等，也可以使用默认的配置。

源代码

#include <iostream>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <ceres/ceres.h>
#include <chrono>

using namespace std;

// 代价函数的计算模型
struct CURVE_FITTING_COST {
  CURVE_FITTING_COST(double x, double y) : _x(x), _y(y) {}

  // 残差的计算
  template<typename T>
  bool operator()(
    const T *const abc, // 模型参数，有3维
    T *residual) const {
    residual[0] = T(_y) - ceres::exp(abc[0] * T(_x) * T(_x) + abc[1] * T(_x) + abc[2]); // y-exp(ax^2+bx+c)
    return true;
  }

  const double _x, _y;    // x,y数据
};

int main(int argc, char **argv) {
  double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0;         // 真实参数值
  double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0;        // 估计参数值
  int N = 100;                                 // 数据点
  double w_sigma = 1.0;                        // 噪声Sigma值
  double inv_sigma = 1.0 / w_sigma;
  cv::RNG rng;                                 // OpenCV随机数产生器

  vector<double> x_data, y_data;      // 数据
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    double x = i / 100.0;
    x_data.push_back(x);
    y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma));
  }

  double abc[3] = {ae, be, ce};

  // 构建最小二乘问题
  ceres::Problem problem;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    problem.AddResidualBlock(     // 向问题中添加误差项
      // 使用自动求导，模板参数：误差类型，输出维度，输入维度，维数要与前面struct中一致
      new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>(
        new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i])
      ),
      nullptr,            // 核函数，这里不使用，为空
      abc                 // 待估计参数
    );
  }

  // 配置求解器
  ceres::Solver::Options options;     // 这里有很多配置项可以填
  options.linear_solver_type = ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY;  // 增量方程如何求解
  options.minimizer_progress_to_stdout = true;   // 输出到cout

  ceres::Solver::Summary summary;                // 优化信息
  chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
  ceres::Solve(options, &problem, &summary);  // 开始优化
  chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
  chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1);
  cout << "solve time cost = " << time_used.count() << " seconds. " << endl;

  // 输出结果
  cout << summary.BriefReport() << endl;
  cout << "estimated a,b,c = ";
  for (auto a:abc) cout << a << " ";
  cout << endl;

  return 0;
}

定义残差块的类。方法是书写一个类（或结构体），并在类中定义带模板参数的 () 运算符，这样该类就成为了一个拟函数（Functor）。这种定义方式使得 Ceres 可以像调用函数一样，对该类的某个对象（比如 a）调用 a() 方法。事实上，Ceres 会把雅可比矩阵作为类型参数传入此函数，从而实现自动求导的功能。
程序中的 double abc[3] 即为参数块，而对于残差块，我们对每一个数据构造 CURVE_FITTING_COST 对象，然后调用 AddResidualBlock 将误差项添加到目标函数中。由于优化需要梯度，我们有若干种选择：（1）使用 Ceres 的自动求导（Auto Diff）；（2）使用数值求导（Numeric Diff）；（3）自行推导解析的导数形式，提供给 Ceres。因为自动求导在编码上是最方便的，于是我们使用自动求导。
自动求导需要指定误差项和优化变量的维度。这里的误差是标量，维度为 1；优化的是 a, b, c三个量，维度为 3。于是，在自动求导类 AutoDiffCostFunction 的模板参数中设定变量维度为 1、3。
设定好问题后，调用 Solve 函数进行求解。你可以在 options 里配置（非常详细的）优化选项。例如，可以选择使用 Line Search 还是 Trust Region、迭代次数、步长，等等。

随手笔记——Ceres 求解曲线拟合问题

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