元素序列编号计算原理@位置偏移计算.md

数列/数组计数公式

讨论对象

• 设自然数序列$1,2,3,4,...,p-1,p,...,n-1,n$;其中$p⩽n$
• 更一般序列形式: 序列 { a n } = ⋯   , a − 1 , a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ 序列\{a_n\}=\cdots,a_{-1},a_0,a_1,a_2,\cdots 序列{ an​}=⋯,a−1​,a0​,a1​,a2​,⋯

问题内容

• 本文讨论"一维序列"区间元素计数与编号计算公式的相关讨论
  1. 已知序列闭区间两端元素的序号$[p,n],p⩽n$,求该区间内包含多少个元素($len[p,n]$=?);半开半闭区间又是如何?
  2. 已知某个序列区间长度$m$和该区间的一个端点序号(坐标)$n$求另一个端点的序号$p$=?

基本回答

• 问题1:根据减法原理,$len[p,n]=|n-p|+1$,$len(p,n]=len[p,n)=len[p,n]-1=|n-p|$
• 问题2:由$len[p,n]=n-p+1=m$得$p=n+1-len[p,n]$=$n-m+1$

位置关系的描述

• 为例描述序列中元素的位置关系,通常用一个整数来描述一个元素的位置,不同的元素都有不同的整数描述,我们称这样的整数为元素的序号或坐标或指针
• 特别的,指针用来指示当前元素的坐标
• 元素序列:$a_s,\cdots ,a_e$是一个长度为$e-s+1$的元素序列,下标$s,\cdots ,e$是这些元素对应的坐标
• 起点坐标:序列的第一个元素的坐标,通常用s或S表示(start)
• 终点坐标:序列的最后一个元素的坐标,通常用e或E表示(end)

增量

• 为了计算一维坐标问题,引入增量$\Delta =E-S$这个概念
• 在序列中,增量描述的是序列中某两个元素间的坐标差
• 对于序列$a_s,\cdots ,a_e$,$\Delta (a_s,a_e)=e-s$表示的是:
  • $a_s$的指针正向移动$\Delta$个元素后会指向元素$a_e$
  • 例如,元素$a_1\to a_2$的增量为1,记为$\delta (a_1,a_2)=2-1=1$
• 增量也叫做序号差或坐标差或坐标偏移量或距离

正负性

• 增量有正负之分:对于坐标变换$a\to a+\Delta$
  • 序号沿着增大的方向变化的,称为正增量$\Delta >0$
  • 沿着负方向减小的方向变化的,称为负增量$\Delta <0$

序列长度和增量的关系

• $a_s,\cdots ,a_e$的元素数目$len[e,s]=|\Delta (a_s,a_e)|+1$=$|e-s|+1$

利用序列长度或增量计算排列数末因式

• 例如排列数公式$A_n^m$=$n(n-1)\cdots (x)$,其中$len[n,x]=m$,即$|n-x|+1=m$,由于$n⩾x$,所以$n-x+1=m$,即$x=n-m+1$

• 从而$A_n^m=n(n-1)\cdots (n-m+1)$

• 从增量的角度:$|\Delta (n,x)|=m-1$,即$|n-x|=m-1,(n⩾x)$,从而$n-x=m-1$,同样有$x=n-m+1$