学习相对论知识备忘

本文是学习以后的备忘，水平有限，如果出现错误，请理解。
不带’的参数均为静止参照系X的参数，带’的均为运动参照系X’的参数。

一、洛伦兹变换

洛伦兹变换可以看作公理，所以从这里开始吧。
令$$k=\sqrt{1-u^2/c^2}$$
式1:$$x^{\prime }=\frac{x-ut}{k}$$
式2:$$t^{\prime }=\frac{t-ux/c^2}{k}$$

1、先分析式1

式1是说，初始时两参照系坐标原点重合，从静止在X参照系上的小人来看，当X’参照系开始以速度u匀速直线运动时，已知某点在X参照系的位置x，和参照系X’的运行时间t（在X看来的时间），就可以求出此时(t)该点在X’参照系对应的位置x‘。

2、洛伦兹变换推导尺缩效应

尺缩效应是指，长度为l的尺子，沿着尺子刻度的方向运动时，对于静止的观者来说，尺子长度会变短，变成$l\ast k$的长度。

如何用洛伦兹变换推导尺缩效应？

式1中，t=0时，在两个参照系坐标原点重合时，X参照系坐标为$l\ast k$点，在X’参照系的读数为l。即在X’参照系长度为l的尺子，在X参照系看起来缩短了，变成了$l\ast k$。

3、再分析式2

由于式2不带x’，可认为X‘参照系没有刻度，自然也无所谓在运动（因为运动着的光滑的棍子是看不出在运动的），而是X‘参照系上处处存在且看起来不运动的“闹钟们”在转动。取x和t，可得t时刻x点在X’参照系上的对应点的闹钟读数。若取x=0原点处，则对应x’=0处读数$t^{\prime }=t/k$。

看$ux/c^2$项。这一项告诉我们任意时刻，从X参照系上的观者来看，在X’参照系中不同位置的时间是不同的。如果在X’参照系中各点上放置“闹钟”，各个闹钟时刻是不同的。在u正方向上，越远的位置，闹钟时刻越往“过去”。在u负方向上，越远的位置，闹钟时刻越往“未来”。

这里有点违反直觉。在u负方向上，越远的位置，闹钟时刻越往“未来”。这意味着未来的事情，此时在远处已经发生了。那么现在的我们能够看到未来发生的事件吗？这是不行的。再看$ux/c^2$项。
$$\frac{ux}{c^2}=\frac{u}{c}\frac{x}{c}$$
第一项u\c可看作一个总是小于1的比率。第二项x\c是光运动x距离需要的时间。两个相乘是一个总小于光运动x距离需要的时间的数字。远处x处未来发生的事情，花费光运动x距离需要的时间到达原点，再被观者获取，此时对于观者来说，已经不是未来而是过去了。

4、洛伦兹变换推导钟慢效应

钟慢效应说的是对于静止的观者来说，运动的闹钟比静止的闹钟“转”得慢。

乍一看来，由式2可得$t^{\prime }=t/k$，
跟钟慢效应正好相反。这里容易出错，需要仔细分析。
式2中，令$x=0$，得到$t^{\prime }=t/k$。此式是指观者在X参照系原点处，用静止钟的读数除以k，就是X’参照系该点的闹钟读数。这个场景中，对于X参照系的观者，闹钟并没有动，与钟慢效应中的场景不符。

正确的思路是令x=ut，即考察的钟在以速度u运动。带入式2得，$t^{\prime }=t\ast k$，就得到了正确的钟慢效应式。

再回来进一步分析式2。
前面分析过在X参照系原点处，存在关系t’=t/k，t’较小。而在x=ut处，t’=t*k，t’较大。则令x=vt，t=t’，可得
$v=\frac{(1-k)c^2}{u}$，v等于这个值时，t=t’，两者相等。

二、使用洛伦兹变换处理加速参照系的场景

参考费恩曼讲义的一道课后题。
已知起始状态静止的飞船受到恒定的加速度g’，对于静止的观者来说飞船航行了时间t，求飞船飞过的距离x，飞船的速度v，飞船加速度g，和飞船t’。

1、求加速度a与a’的关系。

对于飞船，有式3:
$$g^{\prime }d{t}^{\prime }=d{v}^{\prime }$$
由速度合成公式得式4:
$$v+dv=\frac{v+d{v}^{\prime }}{1+\frac{vd{v}^{\prime }}{c^2}}$$
整理并省略$\frac{dvd{v}^{\prime }v}{c^2}$项以后得式5：
$$gdt=dv=g^{\prime }d{t}^{\prime }\ast k^2=g^{\prime }dt\ast k^3$$
可得加速度的关系式6：
$$g=g^{\prime }\ast k^3$$

2、求飞船飞行的速度

由式5，$$g^{\prime }dt=\frac{dv}{(1-\frac{v^2}{c^2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$
对右边积分，考虑到v\c大于0小于1，可令v\c=sina。
$${\int }_{}^{}(1-\frac{v^2}{c^2}{)}^{\frac{-3}{2}}dv=c{\int }_{}^{}(1-\frac{v^2}{c^2}{)}^{\frac{-3}{2}}d\frac{v}{c}=c{\int }_{}^{}(1-si{n}^{2}a{)}^{\frac{-3}{2}}dsina$$
由于$dsina=cosada$，整理右边等于$$c{\int }_{}^{}se{c}^{2}ada$$
查表$se{c}^{2}ada$的积分为$tana$，整理后原式为式7：
$$v=\frac{g^{\prime }t}{\sqrt{1+\frac{(g^{\prime }t{)}^2}{c^2}}}$$

3、求飞行距离

由式7，飞行距离：
$${\int }_{}^{}vdt={\int }_{}^{}\frac{g^{\prime }t}{\sqrt{1+\frac{(g^{\prime }t{)}^2}{c^2}}}dt$$
令$\frac{g^{\prime }t}{c}=u$，原式为
$$\frac{c^2}{g^{\prime }}{\int }_{}^{}\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}du$$
再令$u=tana$，整理后原式为
$$\frac{c^2}{g^{\prime }}{\int }_{}^{}\frac{sina}{co{s}^{2}a}da$$
查表积分后，原式为$$\frac{c^2}{g^{\prime }cosa}$$
由$\frac{g^{\prime }t}{c}=u$和$u=tana$，飞行距离为式8：
$$x=\frac{c}{g^{\prime }}\sqrt{c^2+(g^{\prime }t{)}^2}{|}_{t1}^{t2}$$

4、求飞船的飞行时间t’

由$d^{\prime }t=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$和$v=\frac{g^{\prime }t}{\sqrt{1+\frac{(g^{\prime }t{)}^2}{c^2}}}$，
得$$d{t}^{\prime }=\frac{c}{\sqrt{c^2+(g^{\prime }t{)}^2}}dt$$
令$u=\frac{g^{\prime }t}{c}$得$$d{t}^{\prime }=\frac{c}{g^{\prime }}\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}du$$
令$u=tana$以及$dtana=se{c}^{2}ada$得
$$d{t}^{\prime }=\frac{c}{g^{\prime }}secada$$
查表积分得
$$t^{\prime }=\frac{c}{g^{\prime }}ln(seca+tana)$$
由$\frac{g^{\prime }t}{c}=u$和$u=tana$，得
$$t^{\prime }=\frac{c}{g}ln(\frac{g^{\prime }t+\sqrt{c^2+(g^{\prime }t{)}^2}}{c})$$

5、总结

在时间和距离为0的初始条件下，飞船受到加速度g’，则
$$g=g^{\prime }\ast k^3$$
$$v=\frac{g^{\prime }t}{\sqrt{1+\frac{(g^{\prime }t{)}^2}{c^2}}}$$
$$x=\frac{c}{g^{\prime }}\sqrt{c^2+(g^{\prime }t{)}^2}{|}_{t1}^{t2}$$
$$t^{\prime }=\frac{c}{g}ln(\frac{g^{\prime }t+\sqrt{c^2+(g^{\prime }t{)}^2}}{c})$$
取t=5年($5\ast 365\ast 24\ast 3600$秒)，g’=9.8，c=300000000计算一下：
飞船的运行速度为0.9817c。
飞行距离为4.12光年。
飞船上的飞行时间为2.273年。