[LouguT30212]玩游戏

题面在这里

description

对于\(k=1,2,...,t\)，求\[\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(a_i+b_j)^k\]
对\(998244353\)取模。

data range

\[1\le n,m,k\le 10^5,0\le a_i,b_i\le 998244352\]

solution

由于要求多项式
\[\begin{aligned} Ans(x)&=\sum_{k=1}^{t}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(a_i+b_j)^kx^k\\ &=\sum_{k=1}^{t}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{s=1}^{k}\binom{k}{s}a_i^sb_j^{k-s}x^k\\ &=\sum_{k=1}^{t}k!\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{s=1}^{k}\frac{a_i^s}{s!}\frac{b_j^{k-s}}{(k-s)!}x^k\\ &=\sum_{k=1}^{t}k!\sum_{s=1}^{k}(\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i^s}{s!})(\sum_{j=1}^{m}\frac{b_j^{k-s}}{(k-s)!})x^k\\ &=\sum_{k=1}^{t}k!\sum_{s=1}^{k}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^s}{s!}\frac{\sum_{j=1}^{m}b_j^{k-s}}{(k-s)!}x^k\\ \end{aligned}\]

我们记
\[f_k(x)=\sum_{s=1}^{k}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^s}{s!}\frac{\sum_{j=1}^{m}b_j^{k-s}}{(k-s)!}x^s\]
则\[Ans(x)=\sum_{k=1}^{t}f_k(1)x^k\]

即其系数的前缀和

于是现在我们要求出\[g_a(x)=\sum_{i=1}^{t}\sum_{j=1}^{n}a_j^ix^i\]

构造函数\(h(x)=\prod_{i=1}^{n}(a_ix+1)\)，因为

\[ln[h(x)]=\sum_{i=1}^{n}ln(a_ix+1)\]

而
\[ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]

对上面这个式子求积分，我们有
\[ln(a_ix+1)=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{a_i^j}{j}x^j\]

于是我们有
\[\begin{aligned} ln[h(x)]&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{a_i^j}{j}x^j\\ &=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^j}{j}x^j\\ \end{aligned}\]

\(h(x)\)我们可以使用分治\(FFT\)在\(O(nlog^2n)\)的时间内求出；
\(ln[h(x)]\)可以使用多项式求\(ln\)在\(O(nlogn)\)的时间内求出，
系数稍加处理即可得到\(g_a(x)\)和\(g_b(x)\)；
最后将\(g_a(x)\)和\(g_b(x)\)做一遍\(NTT\)即可得到\(f(x)\)。

总时间复杂度为\(O(nlog^2n)\)
常数巨大
调试\(3+day\)后终于过了第二个样例

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int N=400010;
const int mod=998244353;
const dd pi=acos(-1);
il int read(){
    RG int d=0,w=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')d=(d<<3)+(d<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-d:d;
}

il int poww(int a,int b){
    RG int ret=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
        if(b&1)ret=1ll*ret*a%mod;
    return ret;
}

int r[N];
il void NTT(int *a,int n,int opt){
    for(RG int i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
    for(RG int i=2;i<=n;i<<=1){
        RG int wn=poww((opt==1)?3:((mod+1)/3),(mod-1)/i);
        for(RG int j=0;j<n;j+=i){
            RG int w=1;
            for(RG int k=j;k<j+(i>>1);k++,w=1ll*w*wn%mod){
                RG int x=1ll*a[k+(i>>1)]*w%mod;
                a[k+(i>>1)]=(a[k]-x+mod)%mod;
                a[k]=(a[k]+x)%mod;
            }
        }
    }
    if(opt==-1)
        for(RG int i=0,rev=poww(n,mod-2);i<n;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*rev%mod;
}

int inv[N];
il void initinv(int n){
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(RG int i=2;i<n;i++)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}

int x[N],y[N];

#define M ((L+R)>>1)
void solve(int *a,int L,int R){//分治FFT  
    if(L==R)return;solve(a,L,M);solve(a,M+1,R);
    RG int n=M-L+1,m=R-M,len=1,l=0;
    for(;len<=(n+m);len<<=1,l++);
    for(RG int i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    
    for(RG int i=0;i<len;i++)x[i]=y[i]=0;x[0]=y[0]=1;
    for(RG int i=1;i<=n;i++)x[i]=a[L+i-1];
    for(RG int i=1;i<=m;i++)y[i]=a[M+i];
    
    NTT(x,len,1);NTT(y,len,1);
    for(RG int i=0;i<len;i++)x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;
    NTT(x,len,-1);
    
    for(RG int i=1;i<=n+m;i++)a[L+i-1]=x[i];
}

il void getdao(int *a,int *x,int n){//多项式求导
    for(RG int i=0;i<n;i++)x[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;x[n-1]=0;
}
il void getjifen(int *a,int *x,int n){//多项式求积分
    for(RG int i=n-1;i;i--)x[i]=1ll*a[i-1]*inv[i]%mod;x[0]=0;
}

int xi[N],yi[N];
void getinv(int *f,int *g,int n,int l){//多项式求逆
    if(n==1){g[0]=poww(f[0],mod-2);return;}getinv(f,g,n>>1,l-1);
    for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
    for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)xi[i]=yi[i]=0;
    
    for(RG int i=0;i<n;i++)xi[i]=f[i];
    for(RG int i=0;i<(n>>1);i++)yi[i]=g[i];
    
    NTT(xi,n<<1,1);NTT(yi,n<<1,1);
    for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)
        xi[i]=1ll*(2-1ll*xi[i]*yi[i]%mod+mod)%mod*yi[i]%mod;
    NTT(xi,n<<1,-1);
    for(RG int i=0;i<n;i++)g[i]=xi[i];
}

void getln(int *a,int *f,int n,int l){//多项式求ln
    memset(x,0,sizeof(x));memset(y,0,sizeof(y));
    getdao(a,x,n);getinv(a,y,n,l);
    for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
    NTT(x,n<<1,1);NTT(y,n<<1,1);
    for(RG int i=0;i<(n<<1);i++)x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;
    NTT(x,n<<1,-1);
    getjifen(x,f,n);
}

int n,m,t,a[N],b[N],f[N],g[N],l,rv;
int main()
{
    n=read();m=read();rv=1ll*poww(n,mod-2)*poww(m,mod-2)%mod;
    for(RG int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(RG int i=1;i<=m;i++)b[i]=read();
    solve(a,1,n);solve(b,1,m);//分治FFT得到h(x);
    
    t=read();a[0]=b[0]=1;
    for(l=0;(1<<l)<=t;l++);initinv(1<<l);
    getln(a,f,(1<<l),l);getln(b,g,(1<<l),l);
    
    for(RG int i=1;i<=t;i++){
        f[i]=(i&1)?(1ll*f[i]*i%mod):((mod-1ll*f[i]*i%mod)%mod);
        g[i]=(i&1)?(1ll*g[i]*i%mod):((mod-1ll*g[i]*i%mod)%mod);
    }
    //多项式求ln得到ga(x)和gb(x);
    
    for(RG int i=1;i<=t;i++){
        inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
        f[i]=1ll*f[i]*inv[i]%mod;
        g[i]=1ll*g[i]*inv[i]%mod;
    }

    f[0]=n;g[0]=m;m=n=t;
    for(m+=n,n=1,l=0;n<=m;l++,n<<=1);
    for(RG int i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);
    for(RG int i=0;i<n;i++)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
    NTT(f,n,-1);

    for(RG int i=1,fac=1;i<=t;i++,fac=1ll*fac*i%mod){
        f[i]=1ll*f[i]*fac%mod;
        printf("%lld\n",1ll*f[i]*rv%mod);
    }
    return 0;
}