背景介绍

约减算法，通常应用在硬件领域，因为模运算mod是一个除法运算，在硬件中实现速度会比乘法慢的多，并且还会占用大量资源，因此需要想办法用乘法及其它简单运算来替代模运算。模约减算法可以利用乘法、加法和移位等操作实现大数的取模，规避了模运算中的除法，常见方法有蒙哥马利模约减，barret模约减等，本篇文章介绍barret 模约减算法原理。

barret reduction

约减就是用简单运算来规避除法运算，以便于硬件实现，以A mod q为例，如果要计算A对q取模的结果使用barret reduction算法应该怎么做？

先规定A mod q，则称A为模数，q为基。

假设A的位宽是 $w_{1}$ ，q的位宽是 $w_{2}$ ，对于硬件实现来说需要预计算出两个常数：

$\begin{cases} & \ q_1=\frac{A}{2^{w_{2}}} \\ & \ H=\frac{2^{w_{1}+1}}{q} \end{cases}$

$\small q_1$ 和 $\small H$ 在进行预计算的时候，都需要对计算结果进行取下整，进而 $\small q_1$ 和 $\small H$ 满足如下不等式：

$\begin{cases} & \ \ \ \frac{A}{2^{w_{2}}}-1 <q_1\leqslant \frac{A}{2^{w_{2}}} \\ & \ \frac{2^{w_{1}+1}}{q}-1<H\leqslant \frac{2^{w_{1}+1}}{q} \end{cases}$

令 $\small q_2 =q_1\times H$ ，则有如下不等式成立：

$\small q_2=\frac{A}{2^{w_{2}}} \times\frac{2^{w_{1}+1}}{q}$

$\small \frac{2^{w_{1}-w_{2}+1}A}{q}-\frac{A}{2^{w_{2}}}-\frac{2^{w_{1}+1}}{q}+1<q_2\leqslant \frac{2^{w_{1}-w_{2}+1}A}{q}$

令 $\small q_3=q_2 / 2^{w_{1}-w_{2}+1$ ，即对上面 $\small q_2$ 不等式，两边同时除以 $\small 2^{w_{1}-w_{2}+1$ ，得到：

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$\small \frac{A}{q}-\frac{A}{2^{w_{1}}+1}-\frac{2^{w_{2}}}{q}+\frac{1}{2^{w_{1}-w_{2}+1}}<q_3\leqslant \frac{A}{q}$

由于A的位宽是 $w_{1}$ ，q的位宽是 $w_{2}$ ，所以A和q满足如下不等式：

$\begin{cases} & \frac{A}{2^{w_{1}+1}} \leqslant1 \\ & \ \ \frac{2^{w_2}}{q} \leqslant2 \end{cases}$

把A和q所满足的不等式，带入 $q_3$ 不等式中，得到：

$\small \frac{A}{q}-3<q_3\leqslant \frac{A}{q}$

所以两边同时乘以q得到：

$A-3q<q_3\times q\leqslant A$

因此得到模运算可以化简为：

$A\ mod\ q=(A-q_{3}\times q)\ mod\ q$

又由于 $A-q_{3}\times q$ 是在A-3q和A之间的，所以它对q取模，只需要判断它在[0,q)、[q,2q)、[2q,3q)的哪个区间，若 $A-q_{3}\times q$ 落在[q,2q)区间，则：

$(A-q_{3}\times q)\ mod\ q=A-q_{3}\times q-q$

以上，完成了barret模约减，同样的，该模约减算法可以应用在模乘领域，即实现barret模乘。而相对于模乘，AB mod q，可以直接把AB的乘积看作是上面公式推导的A，然后再进行模乘。

barret模约减计算流程大体如下图所示：

硬件实现

看完模约减公式推导过程，肯定有人会疑问：

$\begin{cases} & \ q_1=\frac{A}{2^{w_{2}}} \\ & \ H=\frac{2^{w_{1}+1}}{q} \end{cases}$

先前预计算了两个常数，我后面的约减推导全都是依赖于这两个常数。先来看H，为了将多项式系数约束在基的范围内，进而能够实现密码学领域中的一些同态加密算法，选取的基q，通常是定值，因此H的计算量很少可以直接预计算并存储到RAM中，哪怕我A的取值范围是1-200bit，在基q确定的情况下我最多也只需要预计算200个H的值。

选取基q确定的情况下H好计算，但A是输入变量，有任意种可能，那么 $q_1$ 该怎么预计算？

事实上 $q_1$ 不需要预计算，因为 $q_1$ 是A除以2的幂次，在硬件中，除以2的幂次可以通过移位操作来实现，至于 $q_1$ 计算需要对结果向下取整，只需要对A进行移位操作即可。例如

$7/4=7>>2=3'b111 >>2=3'b001=1$

$downfloor(7/4) = downfloor(1.75)=2$

$q_1$ 计算对结果向下取整，可以直接用A移位来替代。

综上， $\small q_1$ 的值和 $\small H$ 的值我们都可以轻易得到了，并且不怎么消耗计算资源，也没有多少计算delay，并且后面 $\small q_3$ 的计算也是除以2的次幂，也可以转化为移位操作，因此barret模约减主要的计算量在于：

$\small \begin{cases} &q_2=q_1\times H=\frac{A}{2^{w_{2}}} \times\frac{2^{w_{1}+1}}{q} \\ & A-q_3\times q \end{cases}$

主要计算量在于上面的两个乘法，q2 = q1*H，和q3*q的计算。

硬件优化

在之前已经推导出barret模约减主要计算量在两个乘法，q2 = q1*H，和q3*q的计算。

对于硬件实现来说，第二个计算可以进行优化，因为A-q3*q之后还要对其的范围进行判断，若落在[q,2q)范围，则A mod q = A-q3*q-q，事实上我们关心其落在那个范围，并不需要比较所有bit位，q的位宽为 $\small w_2$ ，我们只需要比较低 $\small w_2+2$ 位的大小就可以判断其落在哪个范围，甚至对于q3*q也可以通过取q3的低 $\small w_2$ 位的数据和q进行乘运算，再取运算结果的低 $\small w_2+2$ 位进行比较，从而确定范围。

因此在硬件实现上，利用barret模约减，成功将除法化简为了两个乘法和一（两）个加法计算。

barret reduction原理详解及硬件优化

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