逻辑与（英文名：logical conjunction）

逻辑与

在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。[1][2][3]

文氏图 A ∧ B {\displaystyle A\land B} A∧B{\displaystyle A\land B}A∧B

相关名称

基本符号：∧ {\displaystyle \land } ∧{\displaystyle \land }∧

英文名：logical conjunction

中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，...

命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。

基本定义

逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。

逻辑与∧ {\displaystyle \land } ∧{\displaystyle \land }∧是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。

复合命题  A ∧ B {\displaystyle ~A\land B}  A∧B{\displaystyle ~A\land B} A∧B，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。

真值表定义

A与B的真值表（也写作A∧ {\displaystyle \land } ∧{\displaystyle \land }∧B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A⋅ {\displaystyle \cdot } ⋅{\displaystyle \cdot }⋅B（电子学））。

  A ∧ B {\displaystyle ~A\land B}  A∧B{\displaystyle ~A\land B} A∧B 的真值表:

输入

输出

A {\displaystyle A} A{\displaystyle A}A

B {\displaystyle B} B{\displaystyle B}B

A ∧ B {\displaystyle A\land B} A∧B{\displaystyle A\land B}A∧B

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

推理規則

合取引入规则

合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。

其形式如下：

A,

B.

因此A且B.

形式化为：

A , {\displaystyle \mathbf {A} ,} A,{\displaystyle \mathbf {A} ,}A,

B {\displaystyle \mathbf {B} } B{\displaystyle \mathbf {B} }B⊢ A ∧ B {\displaystyle \vdash A\land B} ⊢A∧B{\displaystyle \vdash A\land B}⊢A∧B

下面的例子是满足联言推理的合成式的论证：

小橘子是正妹。

小橘子是車神。

因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

1小于2

6大于5

因此，1小于2，而且6大于5。

還有一個例子如下：

有一些PSPACE問題不是NL問題

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

合取消去规则

合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

其形式如下：

A且B。

因此A。

...或者，

A且B.

因此B.

用逻辑运算符描述为，

形式化为:

A ∧ B {\displaystyle A\land B} A∧B{\displaystyle A\land B}A∧B

⊢ A {\displaystyle \vdash A} ⊢A{\displaystyle \vdash A}⊢A

或者,

A ∧ B {\displaystyle A\land B} A∧B{\displaystyle A\land B}A∧B⊢ B {\displaystyle \vdash B} ⊢B{\displaystyle \vdash B}⊢B

例如:

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

因此有一些PSPACE問題不是NL問題

或者

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

另一個例子如下：

1小于2，而且6大于5。

因此1小于2。

或者

1小于2，而且6大于5。

因此6大于5。

還有一個例子如下：

小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是車神。

性质

逻辑与满足以下性质：

• 结合律: A ∧ ( B ∧ C ) ≡ ( A ∧ B ) ∧ C {\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C} A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C{\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C}A∧(B∧C)≡(A∧B)∧C
  • 交换律: A ∧ B ≡ B ∧ A {\displaystyle A\land B\equiv B\land A} A∧B≡B∧A{\displaystyle A\land B\equiv B\land A}A∧B≡B∧A
    • 分配律: ( A ∧ ( B ∨ C ) ) ≡ ( ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) ) {\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))} (A∧(B∨C))≡((A∧B)∨(A∧C)){\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))}(A∧(B∨C))≡((A∧B)∨(A∧C))

      ( A ∨ ( B ∧ C ) ) ≡ ( ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) ) {\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))} (A∨(B∧C))≡((A∨B)∧(A∨C)){\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))}(A∨(B∧C))≡((A∨B)∧(A∨C))

      • 幂等律: A ∧ A ≡ A {\displaystyle A\land A\equiv A} A∧A≡A{\displaystyle A\land A\equiv A}A∧A≡A
        • 单调性: ( A → B ) → ( ( C ∧ A ) → ( C ∧ B ) ) {\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))} (A→B)→((C∧A)→(C∧B)){\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))}(A→B)→((C∧A)→(C∧B))( A → B ) → ( ( A ∧ C ) → ( B ∧ C ) ) {\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))} (A→B)→((A∧C)→(B∧C)){\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))}(A→B)→((A∧C)→(B∧C))

          如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。

          计算机科学中的运用

          与门

          位运算

          逻辑与常在位运算中使用，比如：

          编程中的使用

          在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

          布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。

          在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

          交集运算

          集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。

          • 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。

• • • • • • 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

• • • • • • 0 and 0 = 0
          • 0 and 1 = 0
          • 1 and 0 = 0
          • 1 and 1 = 1

• • • • • • 1100 and 1010 = 1000