GAN的损失函数

1.GAN

在训练过程中，生成器和判别器的目标是相矛盾的，并且这种矛盾可以体现在判别器的判断准确性上。生成器的目标是生成尽量真实的数据，最好能够以假乱真、让判别器判断不出来，因此生成器的学习目标是让判别器上的判断准确性越来越低；相反，判别器的目标是尽量判别出真伪，因此判别器的学习目标是让自己的判别准确性越来越高。

当生成器生成的数据越来越真时，判别器为维持住自己的准确性，就必须向辨别能力越来越强的方向迭代。当判别器越来越强大时，生成器为了降低判别器的判断准确性，就必须生成越来越真的数据。在这个奇妙的关系中，判别器判断的准确性由GAN论文中定义的特殊交叉熵$V$来衡量，判别器与生成器共同影响交叉熵$V$，同时训练、相互内卷，对该交叉熵的控制时此消彼长的，这是真正的零和博弈。

2. 特殊交叉熵$V$

在生成器与判别器的内卷关系中，GAN的特殊交叉熵公式如下：
$$V(D,G)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[\log D(x_i)+\log (1-D(G(z_i)))]$$
其中，字母$V$是原始GAN论文中指定用来表示该交叉熵的字母，对数$\log$的底数为自然底数$e$，$m$表示共有$m$个样本，因此以上表达式是全部样本交叉的均值表达式。
除此之外，$x_i$表示任意真实数据，$z_i$与真实数据相同结构的任意随机数据，$G(z_i)$表示在生成器中基于$z_i$生成的假数据，而$D(x_i)$表示判别器在真实数据$x_i$上判断出的结果，$D(G(z_i))$表示判别器在假数据$G(z_i)$上判断出的结果，其中$D(x_i)$与$D(G(z_i))$都是样本为“真”的概率，即标签为$1$的概率。

在原始论文中，这一交叉熵被认为是一种“损失”，但它有两个特殊之处：

• 不同于二分类交叉熵等常见的损失函数，损失$V$上不存在最小值，反而存在最大值。具体来看，$D(x_i)$与$D(G(z_i))$都是概率，因此这两个值的范围都在$(0,1)$之间。对于底数为$e$的对数函数来说，在定义域为$(0,1)$之间意味着函数的值为$(-\infty ,0)$。因此理论上来说，损失$V$的值域也在$(-\infty ,0)$。
• 损失$V$在判别器的判别能力最强时达到最大值，这就是说判别器判断得越准确时，损失反而越大，这违背我们对普通二分类网络中的损失函数的期待。但我们从判别器和生成器角度分别来看待公式$V$，则可以很快理解这一点。

不难发现，在$V$的表达式中，两部分对数都与判别器$D$有关，而只有后半部分的对数与生成器$G$有关。因此我们可以按如下方式分割损失函数：
对判别器：
$$Los{s}_D=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[\log D(x_i)+\log (1-D(G(z_i)))]$$
从判别器的角度来看，由于判别器希望自己尽量能够判断正确，而输出概率又是“数据为真”的概率，所以最佳情况就是所有的真实样本上的输出$D(x_i)$都无比接近$1$，而所有的假样本上的输出$D(G(z_i))$都无比接近$0$。因此对判别器来说，最佳损失值是：
$$Los{s}_D=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[\log D(x_i)+\log (1-D(G(z_i)))]=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[\log 1+\log (1-0)]=0$$
这说明判别器希望以上损失$Los{s}_D$越大越好，且最大值理论上可达$0$，且判别器追求大$Los{s}_D$的本质是令$D(x)$接近$1$，令$D(G(z))$接近$0$。不难发现，对判别器而言，$V$更像是一个存在上限的积极的指标（比如准确率）。

而从生成器的角度来看，生成器无法影响$D(x_i)$，只能影响$D(G(z_i))$，因此只有损失的后半段与生成器相关。因此对生成器：
$$Los{s}_G=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[常数+\log (1-D(G(z_i)))]$$
生成器的目标是令输出的数据越真越好，最好让判别器完全判断不出，因此生成器希望$D(G(z_i))$越接近$1$越好。因此对生成器来说，最佳损失是（去掉常数项）：
$$Los{s}_G=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\log (1-D(G(z_i)))=\log (1-1)=-\infty$$
这说明生成器希望以上损失$Los{s}_G$越小越好，且最小理论值可达负无穷，且生成器追求小$Los{s}_G$的本质是令$D(G(z))$接近$1$。对生成器而言，$V$更像是一个损失，即算法表现越好，该指标的值越低。从整个生成对抗网络的角度来看，我们（使用者）的目标与生成器的目标相一致，因此对我们而言，$V$被定义为损失，它应该越低越好。

在原始论文当中，该损失$V$被表示为如下形式：
$$\underset{G}{\min }\underset{D}{\max }V(D,G)={\mathbb{E}}_{x\sim P_{data}(x)}[\log D(x)]+{\mathbb{E}}_{z\sim P_z(z)}[\log (1-D(G(z)))]$$
即先从判别器的角度令损失最大化，又从生成器的角度令损失最小化，即可让判别器和生成器在共享损失的情况下实现对抗。其中$\mathbb{E}$表示期望，第一个期望${\mathbb{E}}_{x\sim P_{data}(x)}[\log D(x)]$是所有$x$都是真实数据时$\log D(x)$的期望；第二个期望${\mathbb{E}}_{z\sim P_z(z)}[\log (1-D(G(z)))]$是所有数据都是生成数据时$\log (1-D(G(z)))$的期望。当真实数据、生成数据的样本点固定时，期望就等于均值。
如此，通过共享以上损失函数，生成器与判别器实现了在训练过程中互相对抗，$\underset{G}{\min }\underset{D}{\max }V(D,G)$的本质就是最小化$Los{s}_G$的同时最大化$Los{s}_D$。并且，在最开始训练时，由于生成器生成的数据与真实数据差异很大，因此$D(x_i)$应该接近$1$，$D(G(z_i))$应该接近$0$。理论上来说，只要训练顺利，最终$D(x_i)$和$D(G(z_i))$都应该非常接近$0.5$，但实际上这样的情况并不常见。

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