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题目来源
题目描述
给定 n 个不同的正整数，整数 k (k≤n)以及一个目标数字 target。
在这 n 个数里面找出 k 个数，使得这 k 个数的和等于目标数字，求问有多少种方案？
示例
样例 1：
输入：A = [1,2,3,4], k = 2, target = 5
输出：2
解释：1 + 4 = 2 + 3 = 5
样例 2：
输入：A = [1,2,3,4,5], k = 3, target = 6
输出：1
解释：只有这一种方案。 1 + 2 + 3 = 6
题目解析
本题的K数之和有一定的局限性，因为本题要求的k元组：
- 是从n个正整数中选择k个数
- 且最终求出的k元组不需要去重
这使得本题的难度略有下降。
本题可以转化为：01背包问题的装满背包的方案数问题
关于01背包问题的装满背包的方案数问题，解法可以参考：
LeetCode - 494 目标和_伏城之外的博客-CSDN博客
一般的，01背包问题的装满背包的方案数问题是：
有n个物品（n个正整数），物品的重量（整数值），
有一个背包，承重为target，
问装满背包的方式有多少种？
本题转化的，01背包问题的装满背包的方案数问题是：
有n个物品（n个正整数），物品的重量（正整数值），
有一个背包，承重为target，
现在要在n个物品中必选k个，
问装满背包的方案数有多少种？
可以发现，本题的01背包问题，要比一般的01背包问题，多了一维，即必选k个的实现的。
我们定义一个三维数组 dp[n][k][t]，代表在0 ~ n 物品中，选择k个，装满承重为 t 的背包的方案总数。
状态转义方程的推导：
- 假设第n个物品不选的话：dp[n][k][t] = dp[n-1][k][t]
- 假设第n个物品选的话：dp[n][k][t] = dp[n-1][k][t] + dp[n-1][k-1][t - a[n]] （t >= a[n]）
这里为什么假设第n个物品选的话，dp[n][k][t]的总方案数还要加上dp[n-1][k][t]呢？
具体原因情况：LeetCode - 494 目标和_伏城之外的博客-CSDN博客
状态转义方程的推导其实和“一般的01背包问题的装满背包的方案数问题”的没有区别。
注意点：
- dp[n][k][t] 三维遍历中，对于k维的遍历，需要注意上限k的选择不能超过n维的值，即假设n=4，k=5，即你无法从4个正整数数，选择出五元组。
- 滚动数组优化时，注意 t 维（背包承重维度）需要三重循环的中间层。
JS算法源码
三维数组解法：
export class Solution {
/**
* @param a: An integer array
* @param k: A positive integer (k <= length(A))
* @param target: An integer
* @return: An integer
*/
kSum(nums, k, target) {
// write your code here
const n = nums.length;
const dp = new Array(n + 1)
.fill(0)
.map(() =>
new Array(k + 1).fill(0).map(() => new Array(target + 1).fill(0))
);
for (let i = 0; i <= n; i++) dp[i][0][0] = 1;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
const num = nums[i - 1];
for (let j = 1; j <= Math.min(i, k); j++) {
for (let t = 1; t <= target; t++) {
if (t >= num) {
dp[i][j][t] = dp[i - 1][j][t] + dp[i - 1][j - 1][t - num];
} else {
dp[i][j][t] = dp[i - 1][j][t];
}
}
}
}
return dp[n][k][target];
}
}
滚动数组优化解法：
export class Solution {
/**
* @param a: An integer array
* @param k: A positive integer (k <= length(A))
* @param target: An integer
* @return: An integer
*/
kSum(nums, k, target) {
// write your code here
const n = nums.length;
const dp = new Array(k + 1)
.fill(0)
.map(() => new Array(target + 1).fill(0));
dp[0][0] = 1;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
const num = nums[i - 1];
for (let t = target; t >= num; t--) {
for (let j = 1; j <= Math.min(i, k); j++) {
dp[j][t] = dp[j][t] + dp[j - 1][t - num];
}
}
}
return dp[k][target];
}
}
Java算法源码
三维数组解法
public class Solution {
/**
* @param a: An integer array
* @param k: A positive integer (k <= length(A))
* @param target: An integer
* @return: An integer
*/
public int kSum(int[] nums, int k, int target) {
// write your code here
int n = nums.length;
int[][][] dp = new int[n + 1][k + 1][target + 1];
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int num = nums[i - 1];
for (int j = 1; j <= Math.min(i, k); j++) {
for (int t = 1; t <= target; t++) {
if (t >= num) {
dp[i][j][t] = dp[i - 1][j][t] + dp[i - 1][j - 1][t - num];
} else {
dp[i][j][t] = dp[i - 1][j][t];
}
}
}
}
return dp[n][k][target];
}
}滚动数组优化解法
public class Solution {
/**
* @param a: An integer array
* @param k: A positive integer (k <= length(A))
* @param target: An integer
* @return: An integer
*/
public int kSum(int[] nums, int k, int target) {
// write your code here
int n = nums.length;
int[][] dp = new int[k + 1][target + 1];
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int num = nums[i - 1];
for (int t = target; t >= num; t--) {
for (int j = 1; j <= Math.min(i, k); j++) {
dp[j][t] = dp[j][t] + dp[j - 1][t - num];
}
}
}
return dp[k][target];
}
}
Python算法源码
三维数组解法
class Solution:
"""
@param nums: An integer array
@param k: A positive integer (k <= length(A))
@param target: An integer
@return: An integer
"""
def k_sum(self, nums, k, target):
# write your code here
n = len(nums)
dp = [[[0 for _ in range(target+1)] for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]
for i in range(n+1):
dp[i][0][0] = 1
for i in range(1, n+1):
num = nums[i-1]
for j in range(1, min(i+1, k+1)):
for t in range(1, target+1):
if t >= num:
dp[i][j][t] = dp[i - 1][j][t] + dp[i - 1][j - 1][t - num]
else:
dp[i][j][t] = dp[i - 1][j][t]
return dp[n][k][target]滚动数组优化解法
class Solution:
"""
@param nums: An integer array
@param k: A positive integer (k <= length(A))
@param target: An integer
@return: An integer
"""
def k_sum(self, nums, k, target):
# write your code here
n = len(nums)
dp = [[0 for _ in range(target+1)] for _ in range(k+1)]
dp[0][0] = 1
for i in range(1, n+1):
num = nums[i-1]
for t in range(target, num-1, -1):
for j in range(1, min(i+1, k+1)):
dp[j][t] = dp[j][t] + dp[j - 1][t - num]
return dp[k][target]