引言

如果您刚刚接触傅里叶变换，不要害怕。傅里叶变换的原理和应用可能会有些抽象和难以理解，但是只要有耐心和恒心，学习傅里叶变换还是非常有意义和值得的。本篇博客将会介绍傅里叶变换的基础概念和应用。

情景引入

设想你正走在一个嘈杂的菜市场里，耳边传来各种各样的声音。如果你仔细分辨，就可以慢慢分辨出来其中有小贩的叫卖声，有小孩子的哭闹声，有讨价还价的声音等等。傅里叶变换和这个情景非常类似，就是将一个复杂的信号在时间域和频率域之间进行转换。将你耳朵里听到的声波视作原始数据，那么傅里叶变换就是将这个复杂的声波转换成多个周期性的声波。

概念

对于傅里叶变换，我们需要了解两个概念，一个是傅里叶级数，一个是傅里叶变换。我们先从傅里叶级数开始说起

傅里叶级数

高中里我们知道，将两个或者多个正（余）弦函数函数相加减，得到的结果也是周期性函数。例如我将Sin（x）和Cos(x)相加，得到的结果还是周期性函数。那么问题来了，对于任意一个周期性函数，能不能将其拆分成由多个正（余）弦函数的和呢？傅里叶发现是可以的。（具体怎么证明是可以的大家就自行了解吧）

所以这里引出了傅里叶级数的定理：任何一个周期函数都可以表示为一组正弦和余弦函数的级数。

具体来说，设f(x) 为一个周期为 T 的函数，则它的傅里叶级数可表示为：

看上去很复杂，将其用正弦表达并化简就变成：

当然也可以将其用余弦表达。

因此我们就得到了三个东西，一个振幅ｃ，一个ω可以认为是周期（真正周期为2π除以ω），一个相位ф。

如果以时间为ｘ轴，函数值为ｙ轴，绘制图像，那么我们可以得到这个函数（波）随着时间的推移呈现出周期性变化的图像（其实也就是原函数图像），我们称之为时域。

用图像示意一下。

三个波合成为一个波，就会得到一个新的周期性函数，下图红色的线就是新的周期性函数。红色的波由以上三种波合成。可以被分解为以上的三个波。

而如果以振幅ｃ为ｙ轴，以ω作为ｘ轴，那么我们就可以画出一个柱形图。表示分成了几个波，每隔波的振幅又是多少，这个柱形图就被称为频域。与此同时，如果在这个柱形图中加入相位数据，就可以得到一个三维的图。

图像示意一下

代码示意：

附上一小段代码，如何绘制上图，大家不用看也行，主要是介绍python怎么实现傅里叶变换的一个demo：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 生成测试数据（一个带有多个频率分量的正弦波信号）
t = np.linspace(0, 1, 1000)
y = 5 * np.sin(2*np.pi*10*t) + 2 * np.sin(2*np.pi*30*t) + 3 * np.sin(2*np.pi*60*t)

# 傅里叶变换得到振幅和相位信息
freqs = np.fft.fftfreq(len(t), t[1]-t[0])
fft_vals = np.fft.fft(y)
amps = np.abs(fft_vals)
phases = np.angle(fft_vals)

# 创建 3D 坐标轴
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 绘制 3D 傅里叶变换结果
ax.bar(freqs, amps, zs=phases, zdir='y')
ax.set_xlabel('Frequency (Hz)')
ax.set_ylabel('Phase')
ax.set_zlabel('Amplitude')

# 显示图形
plt.show()

稍微解释一下，使用 np.linspace 生成一个包含1000 个点的时间序列 t，从 0 到 1000，然后根据这个时间序列生成一个带有多个频率分量的正弦波信号 y，其中包括频率为 10 Hz、30 Hz 和 60 Hz 的三个正弦波分量。这个是准备了一个测试数据。

接着，使用 np.fft.fftfreq 函数计算离散傅里叶变换中的频率值，也就是求出了10，30，60Hz,储存在变量freqs中，而后使用 np.fft.fft 函数对信号 y 进行傅里叶变换得到频域上的振幅和相位信息fft_vals, 分别通过求模和求角的方式计算出真正的振幅和相位。

剩下的就是matplotlib绘制三维图片，最终得到的图像已经在上文展示。这个三维图就是频域。