算法的复杂性详解及原理

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算法的复杂性详解及原理

MickyInvQ

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发布于 2022-10-28 10:05:06

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14天阅读挑战赛 *努力是为了不平庸~ 每个学习算法的都需要一把打开算法的钥匙，就如陶渊明的《桃花源记》中 ”初极狭才通人，复行数十步，豁然开朗“。

算法知识点

算法的特征

（1）有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。
（2）确定性：每条语句都有确定的含义，无歧义。
（3）可行性：算法在当前环境下，可以通过有限次运算来实现
（4）输入/输出：有零个或多个输入，以及一个多或多个输出。

算法题目描述

写一个算法，求一下序列之和：

做题思路

当你看到这个题目的时候，你会怎么想？for循环？while循环？先看for循环的代码

for循环解决


int sum1(int n){
                
                
   int sum=0;
   for(int i=1;i<=n;i++)
      sum+=pow(-1,i);//表示（-1）^i 
   return sum;
}

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上面这段代码，确实可以实现求和运算，但是为什么不这样算呢？

再看另一种写法：

归纳法解决


int sum2(int n){
                
                
   int sum=0;
   if(n%2==0)
      sum=0;
   else
      sum=-1;
   return sum;
}

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看到这段代码后，是不是恍然大悟，原来还可以这样啊，这不就是数学家高斯使用的算法吗？

一共50对数，每对数的和均为101，因此总和为：

（1+100）* 50 = 5050

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1787年，10岁的高斯用了很短的时间就算出了结果，而其他小孩子用了半天。可以看出，使用for循环的话，需要循环n次，每次循环内还要pow运算，然后再相加运算。如果n = 10000,那么就算运算 10000次这样的过程。而通过我们观察归纳，第二种方式，只需要1次，是不是有很大的差别？

高斯的方法我也知道，但是遇到类似的问题…我们用的笨方法也是算法吗？答：是的

算法复杂度的计算

好算法的标准

高效 - 时间复杂度
低存储 - 空间复杂度

时间复杂度的计算

算法运行需要的时间，现代计算机，一秒能运算很多次，所以不能用秒来计量。相同计算机一次时间相对固定，不同配置的计算机又不相同。所以我们将执行次数作为时间复杂度。


int sum=0;                  //运行1次
int total=0;                //运行1次
for(int i=1;i<=n;i++){
                
                      //运行n+1次，最后一次判断不满足循环条件
  sum=sum+i;                //运行n次
  for(j=1;j<=n;j++)         //运行n×(n+1)次
    total=total+i*j;        //运行n×n次
}

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如果把上面的所有语句的运行次数加起来：

1 + 1 + n+1 + n + n×(n+1) + n×n 。

这个可以用一个函数T(n) 来表示： T(n) = 2n2+3n+3 当n足够大的时候，例如n = 105 ,那么T(n) = 2 * 1010 + 3 *105 +3 可以看出，算法运行的时间主要取决于最高项，小项和常数可以忽略不计。有些算法，如排序，查找、插入算法等，可以分为最好、最坏和平均情况分别去求算法的渐进复杂度。但是考察一个算法时，通常考察最坏的情况，最坏的情况对衡量算法好坏具有实际意义

空间复杂度的计算

算法占用的空间大小。空间复杂度的本意指的是算法在运行过程中，占用了多少存储空间。算法占用的存储空间包括：

（1）输入、输出数据
（2）算法本身
（3）额外需要的辅助空间输入输出占用的空间是必须的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但缩减的量是很小的，可以忽略不计。算法在运行时候，所使用的辅助变量占用空间，才是衡量算法复杂度的关键因素。

常数变量复杂度

请分析如下的算法空间复杂度


void swap(int x,int y){
                
                    //交换x与y 
     int temp;
     temp=x;               //temp为辅助空间 ①
     x=y;                  //②
     y=temp;               //③
}

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两个数交换的过程：

这里使用了temp辅助变量，空间复杂度为O（1）

递归空间复杂度

在递归算法中，每次递归都需要一个栈来保存调用记录，因此在计算递归的空间复杂度的时候，需要计算递归栈的深度。


int fac(int n){
                
                 //计算n的阶乘
    if(n==0||n==1) 
        return 1; 
    else 
        return n*fac(n-1); 
}

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阶乘是典型的递归调用问题，递归包括地推和回归。递推是将原问题不断分解成子问题，直至满足结束条件，返回最近子问题的解。然后逆向逐一回归，最终到达递推开始的原问题，返回原问题的解。

思考：试求5的阶乘，程序将怎么计算呢？ 5的阶乘的递推和回归的过程如下：