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一.大数加法
1.题目描述
以字符串的形式读入两个数字，编写一个函数计算它们的和，以字符串形式返回。
2.问题分析
如果直接使用Java的API--BigInteger,这一题可以直接秒了,但是我们这里不推荐使用,因为我们做题的目的是锻炼我们的思维,而不是API的调用能力.
那我们这一题该如何解决呢?我们可以采取我们小时候做加法的形式进行运算.
就拿456+646举例进行解说.我们从最低位开始运算,相加的结果求余10,作为此位的结果,然后如果大于等于10就进位(进位标志位),下一位计算自动加1进行计算.全部计算完成之后,如果进位标志位true,还需要加一位为1.
上面是位数相同的两位数做加法运算,如果位数不同怎么办?我们可以在位数小的前边补零(补零操作),或者当遍历到当前位置的时候,(循环结束为当两个数都遍历完了之后再结束)如果其中一个数已经遍历完了,可以直接将当前位置变为0,参与另一个数的运算;
我们可以使用StringBuilder每次append计算的结果,最后将字符串反转就是我们需要的答案了.
3.代码实现
public String solve (String num1, String num2) {
//1.保持数位一致,不够的前边补0
int len1 = num1.length(), len2 = num2.length();
while (len1 < len2) {
num1 = "0" + num1;
len1++;
}
while (len1 > len2) {
num2 = "0" + num2;
len2++;
}
StringBuilder ans = new StringBuilder();
boolean isCarry = false;
for (int i = len1 - 1; i >= 0; --i) {
int temp = (num1.charAt(i) - '0' + num2.charAt(i) - '0' + (isCarry ? 1 : 0));
ans.append(temp % 10);
isCarry = temp >= 10;
}
if (isCarry) {
ans.append(1);
}
ans.reverse();
return new String(ans);
}下面的代码会超时.
public String add(String num1, String num2) {
//1.保持数位一致,不够的前边补0
int len1 = num1.length(), len2 = num2.length();
int i = len1 - 1, j = len2 - 1;
StringBuilder ans = new StringBuilder();
boolean isCarry = false;
while (i >= 0 || j >= 0) {
int x = i >= 0 ? num1.charAt(i) - '0' : 0;
int y = j >= 0 ? num2.charAt(j) - '0' : 0;
int temp = (x + y) + (isCarry ? 1 : 0);
isCarry = temp >= 10;
ans.append(temp % 10);
i--;
j--;
}
if (isCarry) {
ans.append(1);
}
ans.reverse();
return new String(ans);
}二.大数减法
1.题目描述
数据范围：两个数字的长度都满足 1≤num1,num2≤105 1 \le num1,num2 \le 10^5 \ 1≤num1,num2≤105 ，数字中仅包含 0≤val≤9 0 \le val \le 9 \ 0≤val≤9 ，第一位不可能是0
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2.问题分析
大数减法和大数加法的思路基本相同,和我们小学的时候做的减法运算是一样的,当这一位减不动的时候,要考虑向高位进行借位.
这里我们考虑一个问题,如何通过字符串判断两个数的大小.我们不能简单的进行字符串的字典序比较(比如"123"和"23",23的字典序比123大,但是23小于123),当num1.length()>num2.length()的时候,num1的值肯定是大于num2的值的.反之,num1<num2.当他们的长度相同的时候,我们可以进行字典序的比较,也就是num1.conpareTo(num2)可以比较出数的大小.
3.代码实现
public String subtract(String num1, String num2) {
if (num1.equals(num2)) {
return "0";
}
//此时num1-num2一定大于0
int len1 = num1.length(), len2 = num2.length();
if (len2 > len1) {
return "-" + subtract(num2, num1);
}
if (len1 == len2 && num1.compareTo(num2) < 0) {
return "-" + subtract(num2, num1);
}
boolean isBorrow = false;
StringBuffer sb = new StringBuffer();
int i = len1 - 1;
int j = len2 - 1;
while (i >= 0 || j >= 0) {
int x = i >= 0 ? num1.charAt(i) - '0' : 0;
int y = j >= 0 ? num2.charAt(j) - '0' : 0;
int temp = (x - y) - (isBorrow ? 1 : 0);
isBorrow = temp < 0;
if (temp < 0) {
temp += 10;
}
sb.append(temp);
i--;
j--;
}
//去除后导0
for (int x = sb.length() - 1; x >= 0; --x) {
if (sb.charAt(x) == '0') {
sb.deleteCharAt(x);
} else {
return new String(sb.reverse());
}
}
return new String(sb.reverse());
}三.大数乘法
1.题目描述
以字符串的形式读入两个数字，编写一个函数计算它们的乘积，以字符串形式返回。
数据范围： 读入的数字大小满足 0≤n≤1010000 \le n \le 10^{1000}0≤n≤101000
要求：空间复杂度 O(m)，时间复杂度 O()（假设m是n的长度）
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2.问题分析
在进行乘法的运算时候,我们不妨将两个字符串数转换为整数数组.然后将他们不同的下标相乘放入到数组的对应位置,最后在进行进位的操作.比如89*12进行运算的时候,8*1累加放在(1+1+1)的下标,8*2累加放在(1+0+1)的下标,(9*1)累加放在(0+1+1)的下标,(9*2)累加放在(0+0+1)的下标,然后此时数组为[0,8,27,18],进位之后[1,0,6,8];
3.代码实现
public String multiply(String s, String t) {
//将字符串转化为数组形式
int lenS = s.length(), lenT = t.length();
int[] arrS = new int[lenS];
int[] arrT = new int[lenT];
for (int i = 0; i < lenS; i++) {
arrS[i] = s.charAt(i) - '0';
}
for (int i = 0; i < lenT; i++) {
arrT[i] = t.charAt(i) - '0';
}
// 存放结果
int[] res = new int[lenS + lenT];
// 中间 i * j 会有重复出现，如89 * 12, 会有res = [0, 8*1, 8*2+9*1, 9*2]
for (int i = 0; i < lenS; i++) {
for (int j = 0; j < lenT; j++) {
// i + j + 1 是为了给进位留一个位置
res[i + j + 1] += arrS[i] * arrT[j];
}
}
// 进位的值
int carry = 0;
// 从最低位，也就是数组res最右边元素开始处理进位
for (int i = lenS + lenT - 1; i >= 0; i--) {
res[i] += carry;
carry = res[i] / 10;
res[i] = res[i] % 10;
}
StringBuilder ans = new StringBuilder();
// 表示当前位在数组的索引，目的是找出高位的0的位置，前置的0需要忽略掉
int cur = 0;
while (cur < lenS + lenT && res[cur] == 0) {
cur++;
}
// 收集结果
for (int i = cur; i < res.length; i++) {
ans.append(res[i]);
}
return ans.length() == 0 ? "0" : ans.toString();
}四.大数除法
1.题目描述
当一个数字很大的时候,我们常用字符串进行表达,(超过了int和long等数据类型可以存储的最大范围),但是这个时候我们该如何判断他是否可以被另一个数整除呢?
2.问题分析
我们这里讨论一个大数除以一个整数(int类型),是否可以除尽,以及除了之后的结果.我们可以将上一次除法运算的结果保存在last中,到下一次运算的时候*10+这一次运算的数进行除法运算即可.
判断是否可以除尽只需要判断最后的last是否为0即可.
3.代码实现
判断是否可以整除的函数
public boolean isDivide(String num, int k) {
if (num.charAt(0) == '-') {
num = num.substring(1);
}
long left = 0;
for (int i = 0; i < num.length(); ++i) {
left = (left * 10 + num.charAt(i) - '0') % k;
}
return left == 0;
}一个大数除以整数的结果:
/**
*
* @param num
* @param k
* @return 第一位保存上商,第二位保存余数
*/
public String[] divide(String num, int k) {
StringBuilder ans = new StringBuilder();
long left = 0;
for (int i = 0; i < num.length(); ++i) {
long x = left * 10 + num.charAt(i) - '0';
ans.append(x / k);
left = x % k;
}
//去除前导0;
int cur = 0;
while (cur < ans.length() && ans.charAt(cur) == '0') {
cur++;
}
String s = new String(ans.substring(cur));
return s.length() == 0 ? new String[]{"0", left + ""} : new String[]{s, left + ""};
}这里有一些大数除法题目可以用来练习:找出字符串的可整除数组 4589. 大数除法