阶乘逆元除递归的五种方法

method1：

(n!/(m!*(n-m)!)) % mod = x %mod ,先对算出n！、m！、(n-m)!对mod取模的余数，就转换为a/b = x%mod;因为m为素数，所以等价于b*x +mod*y = gcd(b,mod); 然后用扩展的欧几里得定理算出 b*x0 +mod*y0 = 1的特解x0，x再进而确定 =(mod + x0%mod) %mod; 则a/b = a*x%mod;

    LL e_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){  
        if(b == 0){  
            x = 1; y = 0;  
            return a;  
        }  
        LL ans = e_gcd(b, a%b, y, x);  
        y -= x*(a/b);  
        return ans;  
    }  
    LL clac(LL a, LL m){  
        LL x, y;  
        e_gcd(a, m, x, y);  
        return (m + x%m)%m;  
    }  
    LL C(int n, int m){  
        return fact[n]*clac(fact[m]*fact[n-m]%mod, mod)%mod;  
    }

method2：如果mod是素数则b的逆元其实就是b^(mod-2)即 (m!*(n-m)!)的逆元为 (m!*(n-m)!)^(mod-2);

    LL quickM(LL a, LL b){  
        LL base = a%mod, ans = 1;  
        while(b){  
            if(b&1) ans = ans*base%mod;  
            base = base*base%mod;  
            b >>= 1;   
        }  
        return ans;  
    }  
    LL C(int n, int m){  
        return fact[n]*quickM(fact[m]*fact[n-m]%mod, mod-2)%mod;  
    }

method3：当n和m比较大而mod为素数且比较小(10^5左右)的时候，可以用Lucas定理计算.

Lucas定理:

A、B是非负整数，模数mod = p(p是质数)。A、B写成p进制：
A = a[n]a[n-1]...a[0];
B = b[n]b[n-1]...b[0];
则组合数C(A,B)与C(a[n], b[n])*C(a[n-1], b[n-1])*...*C(a[0], b[0])(mod p)同余
即：Lucas(n, m, p) = c(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p, p);

    LL quickM(LL base, LL b, LL p) {  
        LL ans = 1;  
        while(b) {  
            if(b&1) ans = (ans * base) % p;  
            base = (base*base) % p;  
            b >>= 1;  
        }  
        return ans;  
    }  
      
    //n,m过大不能打表只能在线求阶乘  
    LL Comb(LL a, LL b, LL p) {  
        if(a < b) return 0;  
        if(a == b) return 1;  
        if(b > a - b) b = a - b;  
          
        LL ans = 1, ca = 1, cb = 1;  
        for(LL i = 0; i < b; ++i) {  
            ca = (ca * (a-i)) % p;  
            cb = (cb * (b-i)) % p;  
        }  
        ans = (ca*quickM(cb, p-2, p)) % p;  
        return ans;  
    }  
      
    LL Lucas(int n, int m, int p) {  
        LL ans = 1;  
        while(n && m && ans) {  
            ans = (ans*Comb(n%p, m%p, p)) % p;  
            n /= p;  
            m /= p;  
        }  
        return ans;  
    }

method4：打表求阶乘数逆元的新方法.

打一个1~n的阶乘的逆元的表，假如n!的逆元叫做f[n]，可以先用费马小定理、扩展欧几里得等
求出f[n]，再用递推公式求出前面的项。
我们记数字 x 的逆元为 f(x) (mod m)。
　　因为 n! = (n-1)! * n;
　　所以 f(n!) = f((n-1)! * n) = f((n-1)!) * f(n);
　　所以 f((n-1)!) = f(n!) * f(f(n)) = f(n!) * n; (数的逆元的逆元就是它自身)
这样子我们就可以用后项推出前面的项了。

    LL quickM(LL base, LL b)  
    {    
        LL ans = 1;    
        while(b)  
        {    
            if(b&1) ans = (ans * base) % mod;    
            base = (base*base) % mod;    
            b >>= 1;  
        }    
        return ans;   
    }  
    void init()  
    {  
        fact[0] = 1;  
        for(int i = 1; i <= maxn; ++i)  
        fact[i] = fact[i-1]*i%mod;  
        fiv[maxn] = quickM(fact[maxn], mod-2);  
        for(int i = maxn-1; i >= 0; --i)  
        {  
            fiv[i] = fiv[i+1]*(i+1);  
            fiv[i] %= mod;  
        }  
    }  
    LL C(int n, int m)  
    {  
        if(m > n) return 0;  
        return fact[n]*fiv[n-m]%mod*fiv[m]%mod;  
    }

method5：发现一个近乎完美的init(): 阶乘、整数逆元、阶乘逆元，一次O(n)即可。

    void init()  
    {  
        fact[0] = fact[1] = 1;  
        fiv[0] = fiv[1] = 1;   
        inv[1] = 1;  
        for(int i = 2; i <= maxn; ++i)    
        {  
            //递推保存fact阶乘，递推求inv和fiv各个逆元   
            fact[i] = fact[i-1]*i%mod;  
            inv[i] = (mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;  
            fiv[i] = inv[i]*fiv[i-1]%mod;  
        }  
    }

阶乘逆元除递归的五种方法

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