由于指纹特有的纹理特征，二维傅里叶变换在各种指纹识别算法中发挥了重要的作用。

局部脊线方向和频率估计

估计指纹局部脊线方向和频率是指纹识别系统中的关键步骤，对于指纹脊线增强、指纹分类、指纹匹配等后续步骤非常重要（Maltoni等人，2022）。指纹局部图像类似二维正弦波（或余弦波），而正弦波的幅度谱非常简单，就是一对关于原点对称的冲激函数（Gonzalez和Woods，2018）。

$\cos(2\pi u_0 x + 2\pi v_0 y)\Leftrightarrow \frac{1}{2} \left [ \delta (u+Nu_0,v+Nv_0) + \delta (u-Nu_0,v-Nv_0) \right ]$

其中， $u_0$ 和 $v_0$ 代表 $x$ 和 $y$ 方向的频率，图像大小为 $N \times N$ 。因此局部指纹的幅度谱存在两个峰。只要设计算法检测出其中一个峰的位置，就可以估计出局部脊线的方向和频率。

局部指纹图像（a，c）类似二维正弦波，它的幅度谱（b，d）存在两个关于原点对称的峰。

不过当存在强噪声干扰时，局部图像的幅度谱就不是那么简单了，峰值对应的可能是噪声，而不是脊线。这时需要利用更大的窗口和先验知识来估计正确的脊线方向（Feng等人，2013）。

对于存在强噪声干扰的指纹，通过检测幅度谱峰值得到的方向容易出错（Feng等人，2013）

掌纹中的皱褶特别多，对于估计脊线方向造成了很大的干扰。Jain和Feng（2009）提出通过傅里叶变换检测局部区域的多个候选正弦波，然后利用相邻区域正弦波的连续性来确定正确的脊线方向和频率。

Jain和Feng（2009）提出通过傅里叶变换检测局部区域的多个候选正弦波，提高脊线方向的命中率。

Chen等人（2011）利用傅里叶变换进行初始方向场的估计，其中在重叠区的每个位置估计两个候选方向，而在非重叠的指纹区域估计一个方向；然后利用relaxation labeling方法提取两个指纹的方向场；最后通过Gabor滤波分离出两个指纹。

Chen等人（2011）提出的重叠指纹分离算法首先利用傅里叶变换进行初始方向场的估计，然后提取两个指纹的方向场，进而通过Gabor滤波分离出两个指纹。

脊线增强

指纹局部图像类似二维正弦波。如果对于局部图像进行合适的方向和频率选择性滤波（一种陷波通过滤波器，以下简称方向滤波器），就可以压制噪声、增强脊线。不过，每个局部图像块使用单一的方向滤波器可能会造成块效应（图像块的边界不连续）。

Sherlock等人（1994）利用一组方向滤波器对整个指纹图像分别进行滤波，得到多个方向的滤波结果（见下图），然后按照指纹方向场为每个像素选择方向最接近的滤波器的滤波结果。

该方法的滤波操作是在频域进行的，利用了FFT效率高的优势。下图为整个方法的流程图。

背景纹理去除

有的现场指纹存在条纹状的背景纹理干扰，这种周期性的条纹在幅度谱中产生了很强的亮点。设计陷波阻断滤波器，就可以去除这种条纹。如果背景条纹的方向和频率与指纹存在较大差异，滤波器对于指纹的破坏很小。

指纹配准

指纹配准是将两幅指纹图像（称为template指纹和input指纹）在空间上对齐。图像相关是一种非常基本的图像配准技术。它的基本步骤是，将template指纹移动到input指纹的每个位置，然后计算二者的相关系数，最后选择相关系数最高的平移参数将两幅指纹对齐。当两幅图像的尺寸比较大时，图像相关的运算量非常高。假设两幅图像的尺寸均为 $N \times N$ ，那么运算量高达 $N^4$ 。如果要考虑存在旋转的情况，那么计算量会进一步变大。

不过，借助傅里叶变换，可以将图像相关的运算量显著降低。按照傅里叶变换的卷积定理，两幅图像卷积的傅里叶变换等于二者傅里叶变换的乘积。而图像相关等于将其中一幅图像旋转180度再进行卷积。利用FFT，基于频域的图像相关计算复杂度可降低为 $N^2\log_{2}N$ 。

直接用两幅完整指纹图像进行相关运算的配准方法在实际中面临两个难题：皮肤变形、重叠区较小。这两个问题都会导致基于全图相关的配准方法失败。Thebauld (1999)提出了一种更加鲁棒的图像相关配准方法。他采取了两个策略：（1）提取template指纹中有特点的局部区域，与input指纹进行配准；（2）对局部区域进行各种旋转和缩放，以考虑皮肤变形。虽然该指纹识别算法与主流的基于细节点的指纹匹配算法差异很大，但是其识别率很出色。Bioscrypt公司凭借该算法获得了FVC2004的冠军。

Thebaud (1999)对局部指纹图像进行缩放和旋转，然后寻找两幅指纹的最优配准参数。

指纹压缩

指纹局部图像类似二维正弦波，而正弦波可以由幅度、方向、频率和相位四个参数完全表示。一种简单粗暴的指纹压缩方法是，把指纹划分为许多图像小方块，每个图像块用正弦波的4个参数表示。假设方块大小为8*8像素，64字节压缩为4个字节，压缩比16:1。虽然用这种压缩方法重建的图像和原图存在显然的差异（无法保持细节点、图像块的边界不连续），但是对于某些指纹识别算法来说，已经足够完成指纹识别任务了。ISO/IEC的一个指纹数据标准就是基于这样的表示方式（ISO/IEC, 2006，主要是由Bioscrypt公司提出的）。如果追求保真度，希望保留更多细节（例如汗孔），就需要更复杂的图像压缩方法了。

参考文献

Chen, F., Feng, J., Jain, A. K., Zhou, J., & Zhang, J. (2011). Separating overlapped fingerprints. IEEE Transactions on Information Forensics and Security, 6(2), 346-359.
Feng, J., Zhou, J., & Jain, A. K. (2013). Orientation field estimation for latent fingerprint enhancement. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 35(4), 925-940.
Gonzalez, R. C. and Woods, R. E. (2018). Digital image processing. 4th Edition, Pearson.
ISO/IEC (2006). ISO/IEC 19794-3:2006 Information technology — Biometric data interchange formats — Part 3: Finger pattern spectral data
Jain, A. K., & Feng, J. (2009). Latent palmprint matching. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 31(6), 1032-1047.
Maltoni, D., Maio, D., Jain, A. K., & Feng, J. (2022). Handbook of Fingerprint Recognition, 3rd Ed. Springer.
Sherlock, B. G., Monro, D. M., & Millard, K. (1994). Fingerprint enhancement by directional Fourier filtering. IEE Proceedings-Vision, Image and Signal Processing, 141(2), 87-94.
Thebaud, L.R. (1999). Systems and Methods with Identity Verification by Comparison and Interpretation of Skin Patterns Such as Fingerprints. US Patent No. 5,909,501.

指纹识别中的傅里叶变换