计算机组成原理（第三版）唐朔飞-第六章计算机的运算方法-课后习题(17-32)

第六章

17.设机器数字长为8位(含1位符号位)，对下列各机器数进行算术左移一位、两位，算术右移一位、两位，讨论结果是否正确。

$[x1{]}_{原}=0.0011010;[y1{]}_{补}=0.1010100;[z1{]}_{反}=1.0101111;$
$[x2{]}_{原}=1.1101000;[y2{]}_{补}=1.1101000;[z2{]}_{反}=1.1101000;$
$[x3{]}_{原}=1.0011001;[y3{]}_{补}=1.0011001;[z3{]}_{反}=1.0011001。$
答：
算术左移一位：
$[x_1{]}_{原}=0.0110100;正确$
$[x_2{]}_{原}=1.1010000;溢出(丢1)出错$
$[x_3{]}_{原}=1.0110010;正确$
$[y_1{]}_{补}=0.0101000;溢出(丢1)出错$
$[y_2{]}_{补}=1.1010000;正确$
$[y_3{]}_{补}=1.0110010;溢出(丢0)出错$
$[z_1{]}_{反}=1.1011111;溢出(丢0)出错$
$[z_2{]}_{反}=1.1010001;正确$
$[z_3{]}_{反}=1.0110011;溢出(丢0)出错$

算术左移两位:
$[x_1{]}_{原}=0.1101000;正确$
$[x_2{]}_{原}=1.0100000;溢出(丢11)出错$
$[x_3{]}_{原}=1.1100100;正确$
$[y_1{]}_{补}=0.1010000;溢出(丢10)出错$
$[y_2{]}_{补}=1.0100000;正确$
$[y_3{]}_{补}=1.1100100;溢出(丢00)出错$
$[z_1{]}_{反}=1.0111111;溢出(丢01)出错$
$[z_2{]}_{反}=1.0100011;正确$
$[z_3{]}_{反}=1.1100111;溢出(丢00)出错$

算术右移一位:
$[x_1{]}_{原}=0.0001101;正确$
$[x_2{]}_{原}=1.0110100;正确$
$[x_3{]}_{原}=1.0001100(1);丢1，产生误差$
$[y_1{]}_{补}=0.0101010;正确$
$[y_2{]}_{补}=1.1110100;正确$
$[y_3{]}_{补}=1.1001100(1);丢1，产生误差$
$[z_1{]}_{反}=1.1010111;正确$
$[z_2{]}_{反}=1.1110100(0);丢0，产生误差$
$[z_3{]}_{反}=1.1001100;正确$

算术右移两位:
$[x_1{]}_{原}=0.0000110(10);产生误差$
$[x_2{]}_{原}=1.0011010;正确$
$[x_3{]}_{原}=1.0000110(01);产生误差$
$[y_1{]}_{补}=0.0010101;正确$
$[y_2{]}_{补}=1.1111010;正确$
$[y_3{]}_{补}=1.1100110(01);产生误差$
$[z_1{]}_{反}=1.1101011;正确$
$[z_2{]}_{反}=1.1111010(00);产生误差$
$[z_3{]}_{反}=1.1100110(01);产生误差$

18.试比较逻辑移位和算术移位。

答:
逻辑移位和算术移位的区别:
逻辑移位是对逻辑数或无符号数进行的移位，其特点是不论左移还是右移，空出位均补0，移位时不考虑符号位。
算术移位是对带符号数进行的移位操作，其关键规则是移位时符号位保持不变，空出位的补入值与数的正负、移位方向、采用的码制等有关。补码或反码右移时具有符号延伸特性。左移时可能产生溢出错误，右移时可能丢失精度。

19.设机器数字长为8位(含1位符号位)，用补码运算规则计算下列各题。

(1)A=9/64，B=-13/32，求A+B;
(2)A=19/32，B=-17/128，求A-B;
(3)A=-3/16，B=9/32, 求A+B;
(4)A=-87， B=53, 求A-B;
(5)A=115，B=-24， 求A+B。
答:
$$\begin{gathered} (1)A=9/64=(0.0010010{)}_2 \\ B=-13/32=(-0.0110100{)}_2 \end{gathered}$$
$[A{]}_{补}=0.0010010$
$[B{]}_{补}=1.1001100$
$[A+B{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 0.0010010& \\ +& 1.1001100& \\ & 1.1011110& ——无溢出\end{array}$$
$A+B=(-0.0100010{)}_2=-17/64$

$$\begin{gathered} (2)A=19/32=(0.1001100{)}_2 \\ B=-17/128=(-0.0010001{)}_2 \end{gathered}$$
$[A{]}_{补}=0.1001100$
$[B{]}_{补}=1.1101111$
$[-B{]}_{补}=0.0010001$
$[A-B{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 0.1001100& \\ +& 0.0010001& \\ & 0.1011101& ——无溢出\end{array}$$
$A-B=(0.1011101{)}_2=93/128$

$$\begin{gathered} (3)A=-3/16=(-0.0011000{)}_2 \\ B=9/32=(0.0100100{)}_2 \end{gathered}$$
$[A{]}_{补}=1.1101000$
$[B{]}_{补}=0.0100100$
$[A+B{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 1.1101000& \\ +& 0.0100100& \\ & 0.0001100& ——无溢出\end{array}$$
$A+B=(0.0001100{)}_2=3/32$

$$\begin{gathered} (4)A=-87=(-1010111{)}_2 \\ B=53=(110101{)}_2 \end{gathered}$$
$[A{]}_{补}=1,0101001$
$[B{]}_{补}=0,0110101$
$[-B{]}_{补}=1,1001011$
$[A-B{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 1,0101001& \\ +& 1,1001011& \\ & 0,1110100& ——溢出\end{array}$$
$A-B=(-1,0001100{)}_2=-140$

$$\begin{gathered} (5)A=115=(1110011{)}_2 \\ B=-24=(-11000{)}_2 \end{gathered}$$
$[A{]}_{补}=0,1110011$
$[B{]}_{补}=1,1101000$
$[A+B{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 0,1110011& \\ +& 1,1101000& \\ & 0,1011011& ——无溢出\end{array}$$
$A+B=(1011011{)}_2=91$
注意:
1、单符号位运算要用单符号位的判断方法判溢出;
2、结果的真值形式上要和原始数据一致

20.用原码一位乘、两位乘和补码一位乘(Booth算法)、两位乘计算x·y。

(1)x=0.110 111，y=-0.101 110;
(2)x=-0.010 111，y=-0.010 101:
(3)x=19， y= 35;
(4)x= 0.110 11， y= -0.111 01。
答:
$$\begin{gathered} 先将数据转换成所需的机器数，然后计算，最后结果转换成真值。 \\ (1)[x{]}_{原}=x=0.110111，[y{]}_{原}=1.101110 \\ {x}^{\ast }=0.110111，y^{\ast }=0.101110 \\ {x}_0=0，y_0=1，z_0=x_0\oplus y_0=0\oplus 1=1 \\ {x}^{\ast }\times y^{\ast }=0.100111100010 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x\times y{]}_{原}=1.100111100010 \\ x\cdot y=-0.100111100010 \end{gathered}$$
原码一位乘：
$(\to 1表示右移一位)$

$2x^{\ast }=01.101110，[-x^{\ast }{]}_{补}=[-x{]}_{补}=1.001001$
原码两位乘:

$结果同一位乘，x\cdot y=-0.100111100010$
$[x{]}_{补}=x=0.110111$
$[y{]}_{补}=1.010010$
$[-x{]}_{补}=1.001001$
$[2x{]}_{补}=01.101110$
$[-2x{]}_{补}=10.010010$
$[x\times y{]}_{补}=1.0110000111100$
$x\cdot y=-0.1001111000100$
$补码一位乘、两位乘运算过程如下:$
补码一位乘:

补码两位乘:

$结果同补码一位乘，x\cdot y=-0.10011110001000$

$(2)x=-0.010111，y=-0.010101$
$[x{]}_{原}=1.010111，[y{]}_{原}=1.010101$
$x^{\ast }=0.010111，y^{\ast }=0.010101$
$[-x^{\ast }{]}_{补}=1.101001，2x^{\ast }=0.101110$
$[-2x^{\ast }{]}_{补}=1.010010$
$x_0=1，y_0=1，z_0=x_0\oplus y_0=1\oplus 1=0$
$[x{]}_{补}=1.101001，[y{]}_{补}=1.101011$
$[-x{]}_{补}=0.010111，[2x{]}_{补}=1.010010$
$[-2x{]}_{补}=0.101110$
$x^{\ast }\times y^{\ast }=0.000111100011$
$[x\times y{]}_{原}=0.000111100011$
$[x\times y{]}_{补}=0.0001111000110$
$x\cdot y=0.000111100011$
$运算过程如下:$
原码一位乘:

原码两位乘:

$结果同一位乘，x\cdot y=0.000111100011$
补码一位乘:

补码两位乘:

$结果同补码一位乘，x\cdot y=0.00011110001100$

$$\begin{gathered} (3)x=19，y=35 \\ x=(10011{)}_2，y=(100011{)}_2 \\ {x}^{\ast }=[x{]}_{原}=[x{]}_{补}=0,010011 \\ y\ast =[y{]}_{原}=[y{]}_{补}=0,100011 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [-x^{\ast }{]}_{补}=[-x{]}_{补}=1,101101 \\ {x}^{\ast }=[2x{]}_{补}=0,100110 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [-2x^{\ast }{]}_{补}=[-2x{]}_{补}=1,011010 \\ {x}_0=0，y_0=0，z_0=x_0\oplus y_0=0\oplus 0=0 \\ x\cdot y=x^{\ast }\times y\ast =[x\times y{]}_{原}=[x\times y{]}_{补}=0,001010011001=(665{)}_{10} \\ 运算过程如下: \end{gathered}$$
原码一位乘:

原码两位乘:

$结果同一位乘，x\cdot y=0,001010011001$
补码一位乘:

补码两位乘:

$结果同补码一位乘，x\cdot y=0,001010011001$

$(4)x=0.11011，y=-0.11101$
$x^{\ast }=[x]原=[x]补=0.11011$
$[y]原=1.11101，y^{\ast }=0.11101$
$[y]补=1.00011$
$[-x^{\ast }{]}_{补}=[-x{]}_{补}=1.00101$
$2x^{\ast }=[2x{]}_{补}=01.10110$
$[-2x^{\ast }{]}_{补}=[-2x{]}_{补}=10.01010$
$x_0=0，y_0=1，z_0=x_0\oplus y_0=0\oplus 1=1$
$x^{\ast }\times y^{\ast }=0.1100001111$
$[x\times y{]}_{原}=1.1100001111$
$[x\times y{]}_{补}=1.00111100010$
$x\cdot y=-0.1100001111$
$运算过程如下:$
原码一位乘:

原码两位乘:

$结果同一位乘，x\cdot y=-0.1100001111$
补码一位乘:

补码两位乘:

$结果同补码一位乘，x\cdot y=-0.11000011110$

21.用原码加减交替法和补码加减交替法计算$x÷y$。

(1)x=0.100111，y=0.101011;
(2)x=-0.10101，y=0.11011;
(3)x=0.10100， y=-0.10001;
(4)x=13/32， y=-27/32。
答:
$$\begin{gathered} (1)x^{\ast }=[x{]}_{原}=[x{]}_{补}=x=0.100111 \\ {y}^{\ast }=[y{]}_{原}=[y{]}_{补}=y=0.101011 \end{gathered}$$
$[-y^{\ast }{]}_{补}=[-y{]}_{补}=1.010101$
$$\begin{gathered} q_0=x_0\oplus y_0=0\oplus 0=0 \\ x÷y=x^{\ast }÷y^{\ast }=[x÷y{]}_{原}=0.111010 \\ {r}^{\ast }=0.000010\times 2^{-6}=0.000000000010 \\ 计算过程如下: \end{gathered}$$
原码加减交替除法:

补码加减交替除法:

$$\begin{gathered} 注:恒置1引入误差。 \\ x÷y=[x÷y{]}_{补}=0.111011 \end{gathered}$$
$[r{]}_{补}=0.000010，r=r^{\ast }=0.000000000010$

$(2)x=-0.10101，y=0.11011$
$$\begin{gathered} [x{]}_{原}=1.10101 \\ {x}^{\ast }=0.10101 \\ {y}^{\ast }=[y{]}_{原}=[y{]}_{补}=y=0.11011 \end{gathered}$$
$[-y^{\ast }{]}_{补}=[-y{]}_{补}=1.00101$
$$\begin{gathered} [x{]}_{补}=1.01011 \\ {q}_0=x_0\oplus y_0=1\oplus 0=1 \\ {x}^{\ast }÷y^{\ast }=0.11000 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x÷y{]}_{原}=1.11000 \\ x÷y=-0.11000 \\ {r}^{\ast }=0.11000\times 2^{-5}=0.0000011000 \\ 计算过程如下: \end{gathered}$$
原码加减交替除法:

$注:恒置1引入误差。$
$[r{]}_{补}=1.01000，r=-0.0000011000$
$[x÷y{]}_{补}=1.00111，x÷y=-0.11001$

$$\begin{gathered} (3)x=0.10100，y=-0.10001 \\ {x}^{\ast }=[x{]}_{原}=[x{]}_{补}=x=0.10100 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y{]}_{原}=1.10001 \\ {y}^{\ast }=0.10001 \end{gathered}$$
$[-y^{\ast }{]}_{补}=1.01111$
$[y{]}_{补}=1.01111$
$$\begin{gathered} [-y{]}_{补}=0.10001 \\ {q}_0=x_0\oplus y_0=0\oplus 1=1 \\ {x}^{\ast }÷y^{\ast }=1.00101——溢出 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x÷y{]}_{原}:无定义 \\ x÷y=-1.00101 \\ {r}^{\ast }=0.01011\times 2^{-5}=0.0000001011 \\ 计算过程如下: \end{gathered}$$
原码加减交替除法:

注:溢出，可停止运算，转溢出处理。
注:当$x^{\ast }>y^{\ast }$时产生溢出，这种情况在第一步运算后判断r的正负时就可发现。此时数值位占领小数点左边的1位，原码无定义，但算法本身仍可正常运行。

补码加减交替除法:

注:由于本题中$x^{\ast }>y^{\ast }$，有溢出。除法运算时一般在运算前判断是否$x^{\ast }>y^{\ast }$，如果该条件成立则停止运算，转溢出处理。但此算法本身在溢出情况下仍可正常运行，此时数值位占领小数点左边的1位，商需设双符号位(变形补码)，以判溢出。采用这种方法时运算前可不判溢出，直接进行运算，运算完后再判溢出。

$$\begin{gathered} (4)x=13/32=(0.01101{)}_2 \\ y=-27/32=(-0.11011{)}_2 \\ {x}^{\ast }=[x{]}_{原}=[x{]}_{补}=x=0.01101 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y{]}_{原}=1.11011 \\ {y}^{\ast }=0.11011 \end{gathered}$$
$[-y^{\ast }{]}_{补}=1.00101$
$[y{]}_{补}=1.00101$
$$\begin{gathered} [-y{]}_{补}=0.11011 \\ {q}_0=x_0\oplus y_0=0\oplus 1=1 \\ {x}^{\ast }÷y^{\ast }=0.01111 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x÷y{]}_{原}=1.01111 \\ x÷y=(-0.01111{)}_2=-15/32 \\ {r}^{\ast }=0.01011\times 2^{-5}=0.0000001011 \end{gathered}$$
原码加减交替除法:

补码加减交替除法:

$[r{]}_{补}=0.01011，r=r^{\ast }=0.0000001011$
$[x÷y{]}_{补}=1.10001，x÷y=(-0.01111{)}_2=-15/32$

22.设机器字长为16位(含1位符号位)，若一次移位需$1\mu s$，一次加法需$1\mu s$，试问原码一位乘、补码一位乘、原码加减交替除和补码加减交替除法最多各需多少时间?

答:
$$\begin{gathered} 原码一位乘最多需时=1\mu s\times 15(加)+1\mu s\times 15(移位)=30\mu s \\ 补码一位乘最多需时=1\mu s\times 16+1\mu s\times 15=31\mu s \\ 原码加减交替除最多需时=1\mu s\times (16+1)+1\mu s\times 15=32\mu s \\ 补码加减交替除最多需时=1\mu s\times (16+1)+1\mu s\times 15=32\mu s \end{gathered}$$

23.画出实现 Booth算法的运算器框图。

要求如下:
(1) 寄存器和全加器均用方框表示,指出寄存器和全加器的位数.
(2)说明加和移位的次数。
(3)详细画出最低位全加器的输入电路.
(4)描述 Booth算法重复加和移位的过程。
答：
(1)实现补码Booth算法的运算器框图如下图所示。图中全加器和寄存器均为n+2位，其中A寄存器存放部分积，含两位符号位，初态为“0”;X寄存器存放被乘数的补码，含两位符号位;Q寄存器存放乘数的补码，含1位符号位，最末位为附加位，初态为“0”。最终乘积的高位在寄存器A中，乘积的低位在Q寄存器中。计数器C用来控制移位次数，判断乘法是否结束。$G_M$为乘法标记。

(2)Booth算法共做n次移位，最多做n+1次加法。
(3)最低位全加器的输入电路如下图所示。

(4)加的过程受Q寄存器末两位控制，当它们同时为0(记做$\overline{Q_n}\overline{Q_{n+1}}$)或同时为1(记做$Q_n{Q}_{n+1}$)时，部分积(在A中)不变;当末两位为01(记做$\overline{Q_n}{Q}_{n+1}$)时，部分积加上被乘数(记做A+X);
当末两位为10(记做$Q_n\overline{Q_{n+1}}$)时，部分积减去被乘数，即与求补后的被乘数相加(记做$A+\overline{X}+1$)。
则Booth 算法的重复加过程可描述为:
$(\overline{Q_n}\overline{Q_{n+1}}+Q_n{Q}_{n+1})A+\overline{Q_n}{Q}_{n+1}(A+X)+Q_n\overline{Q_{n+1}}(A+\overline{X}+1)\to A$
移位时A、Q两个寄存器串接(A//Q)，一起右移一位(算术移位)，记L(A//Q)→R(A//Q)。

24.画出实现补码加减交替法的运算器框图。

要求如下:
(1)寄存器和全加器均用方框表示,指出寄存器和全加器的位数。
(2)说明加和移位的次数。
(3)详细画出第5位(设n为最低位)全加器的输入电路。
(4)画出上商的输入电路。
(5)描述商符的形成过程。
答:
(1)补码加减交替法的运算框图:图中全加器n+1位，寄存器A存放被除数，n+1位(含一位符号位);寄存器X存放除数，n+1位(含一位符号位);寄存器Q存放商，n+1位(含一位符号位)，初态为0.

(2)加操作:$Q_n(A+\overline{X}+1)+\overline{Q_n}(A+X)\to A$
(3)第5位全加器的输入电路:

(4)上商的输入电路:

(5)商符的形成:$\overline{A_0\oplus X_0}\to Q_n$

25.对于尾数为40位的浮点数(不包括符号位在内)，若采用不同的机器数表示，试问当尾数左规或右规时，最多移位次数各为多少?

答:
对于尾数为40位的浮点数，若采用原码表示，当尾数左规时，最多移位39次；反码表示时情况同原码;若采用补码表示，当尾数左规时，正数最多移位39次，同原码;负数最多移位40次。当尾数右规时，不论采用何种码制，均只需右移1次。

26.按机器补码浮点运算步骤计算$[x\pm y{]}_{补}$

$$\begin{gathered} (1)x=2^{-011}\times 0.101100，y=2^{-010}\times (-0.011100); \\ (2)x=2^{-011}\times (-0.100010),y=2^{-010}\times (-0.011111); \\ (3)x=2^{101}\times (-0.100101)，y=2^{100}\times (-0.001111)。 \end{gathered}$$
答:
$$\begin{gathered} 先将x、y转换成机器数形式: \\ (1)[x{]}_{补}=1,101；0.101100 \end{gathered}$$
$[y{]}_{补}=1,110；1.100100$
注:为简单起见，源操作数可直接写成浮点格式，不必规格化。
$1)对阶:$
$[\Delta E{]}_{补}=[E_x{]}_{补}+[-E_y{]}_{补}=11,101+00,010=11,111$
$[\Delta E{]}_{补}<0，应E_x向E_y对齐，则:$
$[E_x{]}_{补}+1=11,101+00,001=11,110$
$[\Delta E{]}_{补}+1=11,111+00,001=00,000=0$
$至此，E_x=E_y，对毕。$
$[x{]}_{补}=1,110；0.010110$
$2)尾数运算:$
$[M_x{]}_{补}+[M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{cc}& 00.010110\\ +& 11.100100\\ & 11.111010\end{array}$$
$[M_x{]}_{补}+[-M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{cc}& 00.010110\\ +& 00.011100\\ & 00.110010\end{array}$$
$3)结果规格化:$
$[x+y{]}_{补}=11,110；11.111010=11,011；11.010000$
$(左规3次，阶码减3，尾数左移3位)$
$$\begin{gathered} [x-y{]}_{补}=11,110；00.110010已是规格化数。 \\ 4)舍入:无 \\ 5)溢出:无 \\ 则:x+y=2^{-101}\times (-0.110000) \\ x-y=2^{-010}\times 0.110010 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (2)x=2^{-011}\times (-0.100010) \\ y=2^{-010}\times (-0.011111) \end{gathered}$$
$[x{]}_{补}=1,101；1.011110$
$[y{]}_{补}=1,110；1.100001$
$$\begin{gathered} 1)对阶: \\ 过程同1)，则 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x{]}_{补}=1,110；1.101111 \\ 2)尾数运算: \end{gathered}$$
$[M_x{]}_{补}+[M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{cc}& 11.101111\\ +& 11.100001\\ & 11.010000\end{array}$$
$[M_x{]}_{补}+[-M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{cc}& 11.101111\\ +& 00.011111\\ & 00.001110\end{array}$$
$3)结果规格化:$
$[x+y{]}_{补}=11,110；11.010000已是规格化数。$
$[x-y{]}_{补}=11,110；00.001110=11,100;00.111000$
$$\begin{gathered} (左规2次，阶码减2，尾数左移2位) \\ 4)舍入:无 \\ 5)溢出:无 \\ 则:x+y=2^{-010}\times (-0.110000) \\ x-y=2^{-100}\times 0.111000 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (3)x=2^{101}\times (-0100101) \\ y=2^{100}\times (-0.001111) \end{gathered}$$
$[x{]}_{补}=0,101；1.011011$
$[y{]}_{补}=0,100；1.110001$
$1)对阶:$
$[\Delta E{]}_{补}=[E_x{]}_{补}+[-E_y{]}_{补}=00,101+11,100=00,001$
$[\Delta E{]}_{补}>0，应E_y向E_x对齐，则:$
$[E_y{]}_{补}+1=00,100+00,001=00,101$
$$\begin{gathered} [E{]}_{补}+[-1{]}_{补}=00,001+11,111=00,000=0 \\ 至此，E_y=E_x，对毕。 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y]补=0,101；1.111000(1) \\ 2)尾数运算: \end{gathered}$$
$[M_x{]}_{补}+[M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 11.011011& \\ +& 11.111000& (1)\\ & 11.010011& (1)\end{array}$$
$[M_x{]}_{补}+[-M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{ccc}& 11.011011& \\ +& 00.000111& (1)\\ & 11.100010& (1)\end{array}$$
$3)结果规格化:$
$[x+y{]}_{补}=00,101；11.010011(1)已是规格化数。$
$$\begin{gathered} [x-y{]}_{补}=00,101；11.100010(1)=00,100;11.000101 \\ (左规1次，阶码减1，尾数左移1位) \\ 4)舍入: \end{gathered}$$
$[x+y{]}_{补}=00,101；11.010011(舍)$
$[x-y{]}_{补}不变。$
$[x-y{]}_{补}=00,100；11.000101$
$$\begin{gathered} 5)溢出:无 \\ 则:x+y=2^{101}\times (-0.101101) \\ x-y=2^{100}\times (-0.111011) \end{gathered}$$

27.假设阶码取3位，尾数取6位(均不包括符号位)，计算下列各题。

$$\begin{gathered} (1)[2^5\times (11/16)]+[2^4\times (-9/16)] \\ (2)[2^{-3}\times (13/16)]-[2^{-4}\times (-5/8)] \\ (3)[2^3\times (13/16)]\times [2^4\times (-9/16)] \\ (4)[2^6\times (-11/16)]÷[2^3\times (-15/16)] \\ (5)[2^3\times (-1)]\times [2^{-2}\times 57/64] \\ (6)[2^{-6}\times (-1)]÷[2^7\times (-1/2)] \\ (7)3.3125+6.125 \\ (8)1475-24375 \end{gathered}$$
答:
$$\begin{gathered} 设机器数采用阶补尾补形式: \\ (1)x=2^5\times (11/16)=2^{101}\times 0.101100 \\ y=2^4\times (-9/16)=2^{100}\times (-0.100100) \\ 则:[x{]}_{阶补尾补}=00,101；00.101100 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶补尾补}=00,100；11.011100 \\ 1)对阶: \end{gathered}$$
$[\Delta E{]}_{补}=[E_x{]}_{补}+[-E_y{]}_{补}=00,101+11,100=00,001$
$[\Delta E{]}_{补}>0，应E_y向E_x对齐，则:$
$[E_y{]}_{补}+1=00,100+00,001=00,101$
$[\Delta E{]}_{补}+[-1{]}_{补}=00,001+11,111=0$
$至此，E_y=E_x，对毕。$
$$\begin{gathered} [y{]}_{补}=00,101；11.101110 \\ 2)尾数运算: \end{gathered}$$
$[M_x{]}_{补}+[M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{cc}& 00.101100\\ +& 11.101110\\ & 00.011010\end{array}$$
$3)结果规格化:左规1位$
$[x+y{]}_{补}=00,101；00.011010=00,100；00.110100$
$$\begin{gathered} 4)舍入:不需舍入。 \\ 5)溢出:无 \\ 则:x+y=2^{100}\times (0.110100)=2^4\times (13/16) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (2)[2^{-3}\times (13/16)]-[2^{-4}\times (-5/8)] \\ x=2^{-3}\times (13/16)=2^{-011}\times 0.110100 \\ y=2^{-4}\times (-5/8)=2^{-100}\times (-0.101000) \end{gathered}$$
$[x{]}_{阶补尾补}=11,101；00.110100$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶补尾补}=11,100；11.011000 \\ 1)对阶: \end{gathered}$$
$[\Delta E{]}_{补}=[E_x{]}_{补}+[-E_y{]}_{补}=11,101+00,100=00,001$
$[\Delta E{]}_{补}>0，应E_y向E_x对齐，则:$
$[E_y]补+1=11，100+00，001=11，101$
$$\begin{gathered} [\Delta E]补+[-1]补=00，001+11，111=0 \\ 至此，E_y=E_x，对毕。 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y]补=11,101；11.101100 \\ 2)尾数运算: \end{gathered}$$
$[M_x{]}_{补}+[-M_y{]}_{补}=$
$$\begin{array}{cc}& 00.110100\\ +& 00.010100\\ & 01.001000\end{array}$$
$3)结果规格化:右规$
$$\begin{gathered} [x-y{]}_{补}=11,101；01.001000=11,110；00.100100 \\ 4)舍入:不需舍入。 \\ 5)溢出:无 \\ 则:x-y=2^{-010}\times (0.100100)=2^{-2}\times (9/16) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (3)[2^3\times (13/16)]\times [2^4\times (-9/16)] \\ x=2^3\times (13/16)=2^{011}\times (0.110100) \\ y=2^4\times (-9/16)=2^{100}\times (-0.100100) \end{gathered}$$
$[x{]}_{阶补尾补}=00,011；0.110100$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶补尾补}=00,100；1.011100 \\ 1)阶码相加: \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [E_x{]}_{补}+[E_y{]}_{补}=00,011+00,100=00,111(无溢出) \\ 2)尾数相乘: \end{gathered}$$
补码两位乘比较法:

$$\begin{gathered} [M_x\times M_y{]}_{补}=11.100010(11000000) \\ 3)结果规格化:左规1位。 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x\times y{]}_{补}=0,111；1.100010(11000000)=0,110；1.000101(1000000) \\ 4)舍入:设采用0舍1入法，应舍: \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x\times y{]}_{阶补尾补}=0,110；1.000101 \\ 5)溢出:无 \\ x\times y=2110\times (-0.111011)=2^6\times (-59/64) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (4)[2^6\times (-11/16)]÷[2^3\times (-15/16)] \\ x=2^6\times (-11/16)=2^{110}\times (-0.101100) \\ y=2^3\times (-15/16)=2^{011}\times (-0.111100) \end{gathered}$$
$[x{]}_{阶补尾补}=00,110；1.010100$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶补尾补}=00,011；1.000100 \\ 1)阶码相减: \end{gathered}$$
$[E_x{]}_{补}+[-E_y{]}_{补}=00,110+11,101=00,011(无溢出)$
$2)尾数相除:$
补码加减交替除法

$$\begin{gathered} [M_x÷M_y{]}_{补}=0.101111，[r{]}_{补}=1.001000 \\ r=-0.111000\times 2^{-6}=-0.000000111000 \end{gathered}$$

28.如何判断定点和浮点补码加减运算结果是否溢出,如何判断原码和补码的定点除法运算结果是否溢出?

答:
有三种判断定点补码加减运算溢出的办法:
(1)采用一位符号位，若两操作数符号相同(减法时减数需每位取反，末位加1)，结果的符号又与原操作数符号不同，则为溢出。
(2)采用一位符号位，加法时最高位(符号位)的进位和次高位的进位异或结果为1时，即为溢出。
(3)采用双符号位，当结果的两个符号位不同时，即为溢出。此时最高位符号位代表真正的符号。

对于浮点补码加减运算要根据运算结果的阶码来判断是否溢出。当阶码大于最大正阶码时为溢出（即:阶码$[j{]}_{补}=01,\times \times \cdot \cdot \cdot \times \times$为上溢），此时需中断处理；当阶码小于最小负阶码时（即:阶码$[j{]}_{补}=10,\times \times \cdot \cdot \cdot \times \times$，按机器零处理），按机器零处理。

以小数为例，补码除法第一次即为商符，若商符与两操作数符号位异或结果不同，即为溢出。如果两操作数符号相同，第一次上商为1即为溢出；若两操作数符号不同，第一次上商若为0，即为溢出。
浮点数补码除法运算不能以尾数相除结果溢出为判断依据，因为尾数溢出可通过右规校正。仅当最后结果的浮点数阶码大于最大正阶码时，才为真正溢出。

29.设浮点数阶码取3位，尾数取6位(均不包括符号位)，要求阶码用移码运算，尾数用补码运算，计算x·y，且结果保留1倍字长。

$$\begin{gathered} (1)x=2^{-100}\times 0101101，y=2^{-011}\times (-0110101); \\ (2)x=2^{-011}\times (-0.100111)，y=2^{101}\times (-0.101011)。 \end{gathered}$$
答:
$$\begin{gathered} 先将x、y转换成机器数形式: \\ (1)[x{]}_{阶移尾补}=0,100;0.101101 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶移尾补}=0,101;1.001011 \\ 1)阶码相加: \end{gathered}$$
$[E_x{]}_{移}+[E_y{]}_{补}=00,100+11,101=00,001(无溢出)$
$2)尾数相乘:$
算法一:补码两位乘比较法

$$\begin{gathered} [M_x\times M_y{]}_{补}=1.011010(10111100) \\ 3)结果规格化:已是规格化数。 \\ 4)舍入:设采用0舍1入法，应入: \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x\times y{]}_{阶移尾补}=0,001；1.011011 \\ 5)溢出:无 \\ x\times y=2^{-111}\times (-0.100101) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (2)x=2^{-011}\times (-0.100111) \\ y=2^{101}\times (-0.101011) \end{gathered}$$
$[x{]}_{阶移尾补}=0,101；1.011001$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶移尾补}=1,101；1.010101 \\ 1)阶码相加: \end{gathered}$$
$[E_x{]}_{移}+[E_y{]}_{补}=00,101+00,101=01,010(无溢出)$
$2)尾数相乘:$
算法一:补码两位乘比较法

$[M_x\times M_y{]}_{补}=0.011010(00110100)$
$2)尾数相乘:$
算法二:补码一位乘比较法

$[M_x\times M_y{]}_{补}=0.011010(0011010)$
$3)结果规格化:$
$$\begin{gathered} [x\times y{]}_{阶移尾补}=1,010；0.011010(00110100)=1,001；.0.110100(0110100) \\ (左规1次，阶码减1，尾数左移1位) \\ 4)舍入:设采用0舍1入法，应舍: \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x\times y{]}_{阶移尾补}=1,001；0.110100 \\ 5)溢出:无 \\ x\times y=2^{001}\times 0.110100 \end{gathered}$$
注意:采用阶移尾补格式是指:参加运算的数是阶移尾补格式，用阶移尾补算法计算，运算结果是阶移尾补格式。

30.机器数格式同上题，要求阶码用移码运算，尾数用补码运算，计算$x÷y$。(注:改用阶移尾原格式作。)

$$\begin{gathered} (1)x=2^{101}\times 0.100111，y=2^{011}\times (-0.101011); \\ (2)x=2^{110}\times (-0.101101)，y=2^{011}\times (-0.111100)。 \end{gathered}$$
答:
$$\begin{gathered} 先将x、y转换成机器数形式: \\ (1)[x{]}_{阶移尾原}=1,101；0.100111 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶移尾原}=1,011；1.101011 \\ 1)阶码相减: \end{gathered}$$
$[E_x{]}_{移}+[-E_y{]}_{补}=01,101+11,101=01,010(无溢出)$
$2)尾数相除:(原码加减交替除法)$

$$\begin{gathered} M_x^{\ast }÷M_y^{\ast }=0.111010，[M_x÷M_y{]}_{原}=1.111010 \\ {r}^{\ast }=0.000010\times 2^{-6}=0.000000000010 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 3)结果规格化:已是规格化数。 \\ 4)舍入:已截断法舍入。 \\ 5)溢出:无 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x÷y{]}_{阶移尾原}=1,010；1.111010 \\ x÷y=2^{010}\times (-0.111010) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (2)x=2^{110}\times (-0101101) \\ y=2^{011}\times (-0111100) \end{gathered}$$
$[x{]}_{阶移尾原}=1,110；1.101101$
$$\begin{gathered} [y{]}_{阶移尾原}=1,011；1.111100 \\ 1)阶码相减: \end{gathered}$$
$[E_x{]}_{移}+[-E_y{]}_{补}=01,110+11,101=01,011(无溢出)$
$2)尾数相除:(原码加减交替除法)$

$$\begin{gathered} M_x^{\ast }÷M_y^{\ast }=[M_x÷M_y{]}_{原}=0.110000 \\ {r}^{\ast }=-0.000000\times 2^{-6}=-0.000000000000 \end{gathered}$$
注:由于加减交替除法算法中缺少对部分余数判“0”的步骤，因此算法运行中的某一步已除尽时，算法不会自动停止，而是继续按既定步数运行完。
$$\begin{gathered} 3)结果规格化:已是规格化数。 \\ 4)舍入:已截断法舍入。 \\ 5)溢出:无 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} [x÷y{]}_{阶移尾原}=1,011；0.110000 \\ x÷y=2^{011}\times 0.110000 \end{gathered}$$

31.设机器字长为32位，用与非门和与或非门设计一个并行加法器(假设与非门的延迟时间为30ns，与或非门的延迟时间为45ns)，要求完成32位加法时间不得超过0.6$\mu s$。画出进位链及加法器逻辑框图。

答:
首先根据题意要求选择进位方案:
1)若采用串行进位链(行波进位)，则在$d_i、t_i$函数的基础上，实现32位进位需要的时间为:
$T=2t_y\times 32=64t_y=64\times 30=1920ns$
不满足$0.6\mu s$的加法时间限制，不能用。(设$1t_y=30ns$)
2)若采用单重分组跳跃进位(级连方式)，则在di、ti的基础上，4位一组分组，32位进位需:
$T=2.5t_y\times 8组=20t_y=20\times 30=600ns$
刚好满足$0.6\mu s$加法时间的限制。
考虑到一次加法除进位时间外，还需di、 ti函数的产生时间、和的产生时间(最高位和)等因素，故此进位方案仍不适用。
结论:若采用单重分组跳跃进位，小组规模需在6位以上较为合适。即:
$T=2.5t_y\times 6组=15t_y=15\times 30=450ns$
除进位外还有$150ns(约5t_y)$左右的时间供加法开销，较充裕。
3)若采用双重分组跳跃进位(二级先行-级联进位)，4位一小组，4小组为一大组分组，则32位进位需:
$T=2.5t_y\times 4级=10t_y=10\times 30=300ns$
完全满足$0.6\mu s$的加法时间限制，可以使用。

双重分组跳跃进位(两级先行进位)
32位双重分组跳跃进位的进位链框图见教材286页图6.23。

6位一组单重分组跳跃进位的进位链框图如下:

注:一个完整的加法器还应考虑$d_i、t_i$产生电路、求和电路等。

加法器逻辑框图如下。图中，进位链电路可选上述两种方案之一。

32.设机器字长为16位，分别按4、4、4、4和5、5、3、3分组后

(1)画出两种分组方案的单重分组并行进位链框图，并比较哪种方案运算速度快。
(2)画出两种分组方案的双重分组并行进位链框图，并对这两种方案进行比较。
(3)用74181和74182画出单重和双重分组的并行进位链框图。
答:
(1)4-4-4-4分组的16位单重分组并行进位链框图见教材286页图6.22。
单重分组跳跃进位(一级先行进位)
16位并行加法器进位链框图(6.22)

注意:16位一级先行进位加法器最长进位延迟时间为$10t_y$。

5-5-3-3分组的16位单重分组并行进位链框图如下:

4-4-4-4分组的进位时间$=2.5t_y\times 4=10t_y;$
5-5-3-3分组的进位时间$=2.5t_y\times 4=10t_y;$
两种分组方案最长加法时间相同。
结论:单重分组并行进位的最长进位时间只与组数有关，与组内位数无关。

(2)4-4-4-4分组的16位双重分组并行进位链框图见教材288页图6.26。

5-5-3-3分组的16位双重分组并行进位链框图如下:

4-4-4-4分组的进位时间$=2.5t_y\times 3=7.5t_y;$
5-5-3-3分组的进位时间$=2.5t_y\times 3=7.5t_y;$
两种分组方案最长加法时间相同。
结论:双重分组并行进位的最长进位时间只与组数和级数有关，与组内位数无关。

(3)单重分组16位并行加法器逻辑图如下(正逻辑):

双重分组16位并行加法器逻辑图如下(正逻辑):

图中，设与进位无关的引脚省略不画，不用的引脚也省略不画。

注意:
1)181芯片正、负逻辑的引脚表示方法;
2)为强调可比性，5-5-3-3分组时不考虑扇入影响;
3)181芯片只有最高、最低两个进位输入/输出端组内进位无引脚;
4)181为4位片，无法5-5-3-3分组，只能4-4-4-4分组;
5)单重分组跳跃进位只用到181，使用182的一般是双重以上分组跳跃进位;
6)单重分组跳跃进位是并行进位和串行进位技术的结合；双重分组跳跃进位是二级并行进位技术;特别注意在位数较少时，双重分组跳跃进位可以采用全先行进位技术实现;位数较多时，可采用双重分组跳跃进位和串行进位技术结合实现。